2. 7 函数与方程-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

2. 7　 函数与方程 1.函数的零点 (1) 函数零点的定义 对于函数 y = f(x),我们把使 f(x) = 0 的实数 x 叫做函数 y = f(x) 的零点. (2) 等价关系 方程 f(x) = 0 有实数根 ⇔ 函数 y = f(x) 的图象与 x轴有 交点 ⇔ 函数 y = f(x) 有零点. (3) 函数零点存在定理 如果函数 y = f(x) 在区间[a,b] 上的图象是一条连续不断 的曲线,且有 f(a) f(b) < 0,那么函数 y = f(x) 在区间(a,b) 内 至少有一个零点,即存在 c ∈ (a,b),使得 f(c) = 0,这个 c也就 是方程 f(x) = 0 的根. (4) 二次函数的图象与其零点的关系 Δ = b2 - 4ac Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的图象 (续表) Δ = b2 - 4ac Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 与 x 轴的交点 (x1 ,0),(x2 ,0) (x1 ,0) 无 零点个数 2 1 0 2.二分法 对于在区间[a,b] 上图象连续不断且 f(a) f(b) < 0的函数 y = f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区 间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做 二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法求方程的 近似解. 　 　 1. 函数 f(x) 的零点是一个实数,是方程 f(x) = 0 的根, 也是函数 y = f(x) 的图象与 x 轴交点的横坐标. 2. 函数零点存在定理只能判断出函数零点是否存在,若 需确定零点个数还要结合函数的性质(单调性、奇偶性、周期 性等) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 方法一　确定函数零点所在区间的方法 1. 解方程法:令 f(x) = 0,解方程并确定方程是否有根落在 给定区间上. 2. 利用函数零点存在定理:先看函数 y = f(x) 在区间[a, b] 上的图象是否连续,再看是否有 f(a) f(b) < 0,若有,则函数 y = f(x) 在区间(a,b) 内必有零点. 3. 数形结合法:(1) 通过画函数图象,观察图象与 x 轴在给 定区间上是否有交点来判断;(2) 转化为两个函数,通过观察它 们的图象在给定区间上是否有交点来判断. 例 1 (2020届延边汪清六中月考) 函数 f(x) = x3 + lg x - 18 的零点所在区间为 (　 　 ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 　 易知 f(x) 在(0, + ∞ ) 上单调递增,f(2) = 23 + lg 2 - 18 = lg 2 - 10 < 0,f(3) = 33 + lg 3 - 18 = 9 + lg 3 > 0,则 f(2) f(3) < 0,故函数 f(x) 的零点所在区间为(2,3) . 　 C 1. 若函数 f(x) 在区间[ - 3,3] 上的图象是连续不断的曲线,且 f(x) 在( - 3,3) 内有一个零点,则 f( - 3) f(3) 的值 (　 　 ) A. 大于 0 B. 小于 0 C. 等于 0 D. 不能确定 方法二　判断函数零点个数的方法 1. 直接求零点:令 f(x) = 0,若方程有解,则有几个解就有 几个零点. 2. 利用函数零点存在定理:若函数 f(x) 的图象在区间[a, b] 上是连续不断的曲线,且 f(a) f(b) < 0,则可结合函数的性 质(如单调性、奇偶性) 确定函数零点的个数. 3. 利用函数图象:作出函数的图象,其与 x轴交点的个数就 是零点个数. 例 2 (2020届武邑宏达学校月考) 已知定义在R上的函数 f(x) 对任意 x都满足 f(x + 1) = - f(x),且当 0 ≤ x < 1时,f(x) = x,则函数 g(x) = f(x) - ln | x | 的零点个数为 (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 　 ∵ f(x + 1) = - f(x),∴ f(x + 2) = - f(x + 1) = f(x),∴ 函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数.当 - 1 ≤ x < 0 时,0 ≤ x + 1 < 1,则 f(x) = - f(x + 1) = - x - 1.令 g(x) = f(x) - ln | x | = 0,则 f(x) = ln | x | ,∴ 函数 g(x) = f(x) -ln | x