2. 5 对数与对数函数-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

2. 5　 对数与对数函数 考点一　对数与对数的运算 1.对数的定义 一般地,如果 ax = N(a > 0,且 a ≠ 1),那么数 x 叫做以 a 为底 N的对数,记作 x = logaN,其中 a 叫做对数的底数,N叫做 真数. 以 10 为底的对数叫做常用对数,记作 lg N;以 e 为底的对 数叫做自然对数,记作 ln N. 2.对数的性质 (1)loga1 = 0,logaa = 1. (2)a logaN = N(N > 0),logaaN = N. (3) 负数和零没有对数. 3.对数的运算 (1) 对数的运算性质 如果 a > 0,且 a ≠ 1,M > 0,N > 0,那么: ①loga(MN) = logaM + logaN. ②loga M N = logaM - logaN. ③logaMn = nlogaM(n ∈ R) . (2) 对数换底公式及常用结论 换底公式:logab = logmb logma (a > 0,且 a ≠ 1;b > 0;m > 0,且 m ≠ 1) . 常用结论:logab = 1 logba ,log am bn = n m logab,logab·logbc· logca = 1,其中 a > 0 且 a ≠ 1,b > 0 且 b ≠ 1,c > 0 且 c ≠ 1. 考点二　对数函数的图象与性质 1.对数函数的定义 一般地,函数 y = logax(a > 0,且 a ≠ 1) 叫做对数函数,其 中 x 是自变量,定义域是(0, + ∞ ) . 2.对数函数的图象与性质 解析式 y = logax(a > 1) y = logax(0 < a < 1) 图象 定义域 (0, + ∞ ) 值域 R 性质 当 x = 1 时,y = 0,即图象过定点(1,0) 当 0 < x < 1 时,y ∈ ( - ∞ ,0);当 x > 1 时,y ∈ (0, + ∞ ) 当 0 < x < 1 时,y ∈ (0, + ∞ ); 当 x > 1 时, y ∈( - ∞ ,0) 在(0, + ∞ ) 上为增函数 在(0, + ∞ ) 上为减函数 3.指数函数与对数函数的关系 一般地,指数函数 y = ax(a > 0,且 a ≠ 1) 与对数函数 y = logax(a > 0,且 a ≠ 1) 互为反函数,它们的定义域与值域正好 互换,它们的图象关于直线 y = x 对称. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12第二章　函数的概念与基本初等函数Ⅰ　　　 题型一　对数的运算及其应用 例 1 (2019 届安徽六安一中月考) 若 2a = 3b = 36,则 a + b ab = . 　 ∵ 2a = 3b = 36, ∴ a = log236,b = log336, ∴ 1 a = log362, 1 b = log363, ∴ a + b ab = 1 b + 1 a = log363 + log362 = log366 = 1 2 . 　 1 2 1. (2019 届济 南 外 国 语 学 校 月 考 ) 已 知 函 数 f(x) = ln( 1 + 9x2 - 3x) + 1,则 f(lg 2) + f(lg 1 2 ) = (　 　 ) A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2 题型二　对数函数的图象及其应用 考查类型 求解方法 对数函数图象识别 利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点 (定点、 与坐标轴的交点、 最高点、 最低点 等),结合排除法进行求解 对数型函数的 单调性(单调区间)、 最值(值域)、 零点问题 一般通过基本初等函数图象的平移、对称、 伸缩等变换作出对数型函数的图象,利用数 形结合求解 对数型方程、 不等式问题 常结合相应对数型函数的图象, 将方程的 根、不等式的解等转化为函数图象之间的关 系进行求解 　 　 例 2 (2019届宁夏银川一中期中) 已知 lg a + lg b = 0,则 函数 f(x) = ax 与函数 g(x) = - logbx 的图象可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 　 由 lg a + lg b = 0,得 lg ab = 0,则 ab = 1, 故 g(x) = - logbx = logax, 因此函数 f(x) 与函数 g