1. 2 命题及其关系、充分条件与必要条件-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

1. 2　 命题及其关系、充分条件与必要条件 考点一　命题及其关系 1.命题 概念 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫 做命题. 判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句 叫做假命题 特点 (1) 能判断真假;(2) 陈述句 分类 真命题、假命题 2.四种命题及其相互关系 (1) 四种命题间的相互关系 (2) 四种命题的真假性间的关系 ① 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性. ② 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. ③ 在四种形式的命题中,真命题的个数只能是 0,2,4. 　 　 易混淆否命题与命题的否定. 否命题是既否定条件,又 否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论. 考点二　充分条件与必要条件 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 (1) 如果“若 p,则 q” 为真命题,即 p⇒q,就称 p是 q的充分 条件,q 是 p 的必要条件. (2) 如果“若 p,则 q” 为假命题,即 p⇒/ q,就称 p不是 q的充 分条件,q 不是 p 的必要条件. (3) 如果“若 p,则 q” 和“若 q,则 p” 都为真命题,即 p⇔q,就 称 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件. 2. p 与 q 的四种关系及相关表述 关系 记法 集合 A = {x | p(x)} 与 B = {x | q(x)} 间的关系 p 是 q 的充分不必要条件 p⇒q 且 q⇒/ p A ⫋ B p 是 q 的必要不充分条件 p⇒/ q 且 q⇒p A ⫌ B p 是 q 的充要条件 p⇒q 且 q⇒p A = B p 是 q 的既不充分也不必 要条件 p⇒/ q 且 q⇒/ p A,B 互不包含 　 　 易混淆 p 是 q 的充分不必要条件(p⇒q 且 q⇒/ p) 与 p 的 充分不必要条件是 q (q⇒p 且 p⇒/ q) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　命题的相互关系及命题真假的判断 1. 在判断命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结 论,再分析命题的条件与结论之间的关系,要注意四种命题间 的相互关系. 2. 判断命题真假的方法:一是联系已有的数学公式、定理、 结论进行直接判断;二是利用原命题和其逆否命题同真同假进 行间接判断. 例 1 (2020届全国 100所名校模拟) 下列有关命题的说法 正确的是 (　 　 ) A. 命题“若 xy = 0, 则 x = 0” 的否命题为“若 xy = 0, 则x ≠ 0” B. 命题“若 x + y = 0,则 x,y 互为相反数” 的逆命题是 真命题 C. 命题“∃x∈R,使得2x2 - 1 < 0” 的否定是“∀x∈R,都 有 2x2 - 1 < 0” D. 命题“若 cos x = cos y,则 x = y” 的逆否命题为真命题 　 A 项,命题“若 xy = 0,则 x = 0” 的否命题为“若 xy ≠ 0,则 x ≠ 0”,A 错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4　　　直击双 1流　高考数学 B 项,命题“若 x + y = 0,则 x,y 互为相反数” 的逆命题为 “若 x,y 互为相反数,则 x + y = 0”,是真命题,B 正确; C 项,“∃x ∈ R,使得 2x2 - 1 < 0” 的否定是“∀x ∈ R,都 有 2x2 - 1 ≥ 0”,C 错误; D 项,“若 cos x = cos y,则 x = y” 为假命题,故其逆否命题 为假命题,D 错误. 　 B 　 　 1. 否命题是将命题“若 p,则 q” 中的条件 p与结论 q同时 否定,不是只否定结论 q;2. 逆命题是将命题“若 p,则 q” 中的 条件 p与结论 q交换位置,变成命题“若 q,则 p” 的形式;3. 对 全称命题与特称命题否定时,不仅要将“∀” 与“∃” 互换,还 要对结论进行否定. 1. (2020 届陕西丹凤中学一模) 下列关于命题的说法正确的是 (　 　 ) A. 命题“若 x2 - 5x - 6 = 0,则 x = - 1” 是真命题 B. 命题“a,b 都是有理数” 的否定是“a,b 都不是有理数” C. 数列{an} 为等差数列,则命题“若 am + an = ap + aq(m,n, p,q ∈ N∗ ),则 m + n = p + q” 的逆否命题为真命题