第14讲 直角三角形的性质-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（华东师大版）

第14讲 直角三角形的性质 1、掌握直角三角形的性质及其推论 2、能利用直角三角形的性质定理及其推论进行有关的计算和证明。 3、经历“实践（动手操作）—探索—发现—猜想—证明”的过程，培养学生的数形结合思想方法和数学建模能力，体会演绎推理的严谨性和“转化”思想解决实际问题中的应用。 知识点01 直角三角形斜边上的中线与斜边的关系 【微点拨】直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半. 【即学即练1】 探究1 直角三角形斜边上的中线与斜边的关系。 探究1 直角三角形斜边上的中线与斜边的关系。 实验探究操作步骤： ①把矩形ABCD图片的两条对角线画出来； ②沿着对角线剪去图形的一半，得到一个直角三角形； ③观察这个直角三角形，找出发现归纳结论。 提出猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 证明猜想 已知：如图在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC上的中线. 求证：BO=AC 证明：延长BO至点D,使BO=DO,连结CD,AD ∵ BO是斜边AC上的中线 ∴ AO=CO 又∵BO=DO 所以四边形ABCD是平行四边形 又∵∠ABC＝90° ∴ 四边形ABCD是矩形 ∴ AC=BD ∴BO=BD=AC 归纳结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【试一试】：能不能用直角三角的性质3去解决问题1呢？ 探究2 直角三角形中30角所对的直角边与斜边的关系。 实验探究操作步骤： 1 准备好两个全等的含30角的直角三角形； 2 把相等的边拼在一起组成平面图形； 3 思考有几种拼法？将你的结论归纳总结。 得出猜想：直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半. 证明猜想：已知：如图 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=30°. 求证：BC=AB 证明：作斜边AB上的中线CD,则 CD=AB=BD ∵∠A=30° ∴∠B=60° ∴△CDB是等边三角形 ∴BC=BD=AB 归纳结论：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半. 考法01 1.已知直角三角形两条直角边的 长分别为1cm和cm。求斜边上中线的长。 解：设斜边上的中线长为cm. 根据勾股定理得 =+ 解得=1 答：斜边上的中线长为1cm。 2.如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图。自动扶梯AB的倾斜角为30，大厅两层之间的距离为6米。你能算出自动扶梯AB的长吗？ 解：在Rt△ABC中， ∵∠BAC=30°,BC=6米 所以AB=2BC=12米 答：自动扶梯AB的长为12米。 题组A 基础过关练 1.在直角三角形中,若斜边上的中线长为6,则斜边长为 (　　) A.3 B.6 C.12 D.无法确定 【答案】.C 2.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD是斜边AB上的高,若AD=3 cm,则斜边AB的长为 (　　) 图1 A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm 【解析】D　∵CD是斜边AB上的高, ∴∠ADC=90°. ∵∠A=60°,∠ACB=90°, ∴∠B=180°-∠ACB-∠A=30°,∠ACD=180°-∠ADC-∠A=30°. ∵AD=3cm,∴AC=2AD=6cm, ∴AB=2AC=12cm.故选D. 3.如图2,在△ABC中,AH⊥BC于点H,E,D,F分别是AB,BC,AC的中点.如果ED=5 cm,那么FH的长为 (　　) 图2 A.5 cm B.6 cm C.10 cm D.不能确定 【答案】.A 4.如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD的长为 (　　) 图3 A.2 B.3 C.4 D.2 【答案】C　 【解析】在Rt△ABC中,CE为AB边上的中线,所以CE=AB=AE.因为CE=5,AD=2,所以DE=3.因为CD为AB边上的高,所以在Rt△CDE中,CD==4.故选C. 5.如图4,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于点D,E是垂足,连结CD.若BD=1,则AC的长是 (　　) 图4 A.2 B.2 C.4 D.4 【答案】A　 【解析】∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,∴∠ACB=60°. ∵DE垂直平分斜边AC,∴AD=CD, ∴∠ACD=∠A=30°,∴∠DCB=60°-30°=30°.在Rt△DBC中,∠B=90°,∠DCB=30°, BD=1,∴CD=2BD=2. 由勾股定理,得BC==. 在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=3