第13讲 测量-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（华东师大版）

第13讲 测量 1、掌握测量的方法； 2、通过设计测量高度的方案，学会由实物图形抽象成几何的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想； 3、培养勇于探索、勇于发现、敢于尝试的科学精神。 知识点01利用勾股定理测量 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么． 【微点拨】（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的． （3）理解勾股定理的一些变式： ，， ． 【即学即练1】 1、有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高． 【点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高． 【解析】 解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺， 根据勾股定理可得： x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1， 解得：x=7.5， 竹竿高=7.5+1=8.5（尺） 答：门高7.5尺，竹竿高8.5尺． 【总结】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键． 2.如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？ 【答案】 解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5，AC＝12， ∴ ． ∴ ()． ∴ BC＋AB＝5＋13＝18()． ∴ 旗杆折断前的高度为18． 知识点02 利用同一时刻物高与影长成比例测量 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 【微点拨】 测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【即学即练2】 1. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 【解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？ 　　 ∵AB⊥BC，CD⊥BC, 　　　　∴∠ABO=∠DCO=90°. 　　　　又 ∵ ∠AOB=∠DOC, 　　　　∴△AOB∽△DOC. 　　　　∴. 　　　　∵BO=50m，CO=10m，CD=17m, 　　　　∴AB=85m. 　　 即河宽为85m． 【总结】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条. 2.小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？ 【答案】 　 如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC, 根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD， ∠BAP=∠DCP=90°， ∴ △ABP∽△CDP, ∴, 即, ∴DC=6.3米. 即球能碰到墙上离地6.3米高的地方. 知识点03利用相似三角形的性质测量 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 【微点拨】 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【即学即练4】 1.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m． (1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度． 　　 【点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的. 【解析】(1)△ABC∽△ADE．