第12讲 图形与坐标-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（华东师大版）

第12讲 图形与坐标 1、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化. 知识点01 坐标系中的位似图形 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 【微点拨】 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k. 【即学即练1】 1.如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2． （1）在图中画出四边形AB′C′D′； （2）填空：△AC′D′是　 　三角形． 【点拨】 （1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形． 【解析】 解：（1）如图所示： （2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40， ∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2， ∴△AC′D′是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 【总结】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键． 2.如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）． （1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2． （2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为　 　． 【点拨】 （1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以﹣2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′； （2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解． 【解析】 解：（1）如图，△DEF和△D′E′F′为所作； （2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）． 故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）． 【总结】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 考法01 如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，�得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？ 【答案】 解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O�点按逆时针方向旋转180°得到的. 题组A 基础过关练 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 【答案】D. 【解析】∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）． 2．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1） 【答案】D. 【解析】∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选：D． 3．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为(　　) A．(2，1) B．(2，0)