第1章第4节基本不等式及其应用 课件-山东省滕州市第一中学2022届高考数学一轮复习

第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 §1.4　基本不等式及其应用 1 隐藏的没能讲 考纲要求 考纲研读 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用 1.理解基本不等式的概念，熟悉基本不等式的证明方法和过程．牢记基本不等式成立的条件和等号成立的条件，能将解析式变形成用基本不等式求最值的形式. 2.基本不等式的应用：一是侧重“正”、 “定”、“等”条件的满足条件；二是用于求函数或数列的最值. 讲课人：邢启强 ‹#› 讲课人：邢启强 ‹#› 讲课人：邢启强 ‹#› 1．如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥_____(当且仅当 a＝b 时取“＝”号)． 2ab 2．如果 a，b 是正数，那么 ≥____(当且仅当 a＝b 时取“＝”号)． a＋b 2 3．可以将两个字母的重要不等式推广： _________________ 2ab 2 ≤ 讲课人：邢启强 ‹#› x＝y 小 x＝y 大 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 易误提醒　 (1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件． (2)多次使用基本不等式时,易忽视取等号的条件的一致性. 讲课人：邢启强 ‹#› 配凑法 例1　(1)已知0<x<1，则x(3－2x)的最大值为____. 5 讲课人：邢启强 ‹#› 因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0， 故f(x)有最小值4. 2.已知a,b为正数，4a2+b2=7,则a的例最大值为( ) A. B. C.2 D.2 A D 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形. (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 讲课人：邢启强 ‹#› 解:因为2m＋n＝1， A 练习：若θ∈(0,,则+ 的取值范围是 [16,+∞） 常数代换法求最值的步骤：常数代换法适用于求解条件最值问题，运用此种方法求常数面的解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值（常数）.(2)把确定的定值（常数）变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. (4)利用基本不等式求解最值. 讲课人：邢启强 ‹#› 消元,换元法 例3.(1)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为____. 6 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号.即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 方法二　(代入消元法) 解:方法一　(换元消元法) 讲课人：邢启强 ‹#› ＝12－6＝6， 所以x＋3y的最小值为6. 引申探究本例条件不变，求xy的最大值. 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3. 讲课人：邢启强 ‹#› (2),求函数的最小值为 . 5 通过消元法、换元法利用基本不等式求最值的方法 (1)消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解，有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解. (2)换元法，求较复杂的式子的最值时，通常利用换元法将式子恰当变形，简化式子，再利用基本不等式求解. ∴xy的最大值为3. 讲课人：邢启强 ‹#› 练习：①设 x，y为正实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y 的最大值是___． ②若正实数a，b满足a＋b＋＝5，则a+b的取值范围是___． [1,4] 讲课人：邢启强 ‹#› 求参数值或取值范围 例4　(2020·厦门联考)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为( ) B 解析　∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0， 讲课人：邢启强 ‹#› 跟踪训练　(1)已知不等式(x＋y) ≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 B 即正实数a的最小值为4，故选B. 讲课人：邢启强 ‹#› (2)若△ABC的内角满足3sin A＝sin B＋sin C，则cos A的最小值是 解析　由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定