第2章第4节函数的奇偶性 课件-山东省滕州市第一中学2022届高考数学一轮复习

§2.2　函数的奇偶性 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 考纲要求 考纲研读 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 1.函数的奇偶性是高考考查的热点． 2.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点． 3.题型以选择题和填空题为主，还可与函数单调性等其他知识点交汇命题. 讲课人：邢启强 ‹#› 一、函数的奇偶性 奇偶性 定　义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是偶函数 关于 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数 关于 对称 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) y轴 原点 讲课人：邢启强 ‹#› 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 有关对称性的结论： (1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称. 若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称. (2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称. 若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称. 奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_____，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_____(填“相同”、“相反”). (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是 两个奇函数的积函数是_____. ②两个偶函数的和函数、积函数是_______． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是_______． (3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (4)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 相同 相反 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 讲课人：邢启强 ‹#› 讲课人：邢启强 ‹#› 故该函数为奇函数． 讲课人：邢启强 ‹#› 1．定义法： 函数奇偶性的判定的三种常用方法 2．图象法： 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. 讲课人：邢启强 ‹#› 练习：已知函数f(x)是定义在R上的奇函数， 当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________． x(1－x) 例2　(1)(2019·全国Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)等于 A.e－x－1 B.e－x＋1 C.－e－x－1 D.－e－x＋1 D 解析　当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1. 又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1. 讲课人：邢启强 ‹#› 讲课人：邢启强 ‹#› D 4 讲课人：邢启强 ‹#› 解析:依题意有f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减， 讲课人：邢启强 ‹#› 例6　(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是（ ） A.f(x)的图象关于x＝2对称 B.f(x)的图象关于(2,0)对称 C.f(x)的周期为4 D.y＝f(x＋4)为偶函数 ACD 解：∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于x＝2对称，故A正确，B错误； ∵函数f(x)的图象关于x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)， ∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确； ∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确. 对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称. (2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝ f(x)的图象关于点 对称. (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函