第二章 2.1 第1课时 不等关系与不等式（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

2．1　等式性质与不等式性质 课程标准 学科核心素养 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 1.能从等式的性质类比出不等式的性质(数学抽象) 2．会比较两个实数的大小(数学运算) 3．会利用不等式的性质解决判断、求范围或证明不等式问题(逻辑推理、数学运算) 第1课时　不等关系与不等式 [对应学生用书P27] 1．不等式的概念 (1)不等关系 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示． (2)不等式的概念 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”连接两个数或两个代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． “不等关系”与“不等式”的关系 不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则表示的是两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示． 日常生活中存在着大量的不等关系，我们经常看到下列标志． 请说出它们的含义． 答案：①限制速度．限制行驶速度v不得低于50 km/h； ②限制质量．装载总质量m不得超过10 t； ③限制高度．装载高度h不得超过3.5 m； ④限制宽度．装载宽度a不得超过3 m． 　某高速公路要求行驶车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为． 2．实数大小比较的基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a＞b，a＝b，a＜B． 依据 a＞b⇔a－b＞0 a＝b⇔a－b＝0 a＜b⇔a－b＜0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 上面等价符号的左边反映的是实数的大小，右边反映的是实数的运算性质，合起来就是实数的大小与运算性质之间的关系．它是不等式这一章的理论基础，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据． x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？ 答案：由x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，得x2＋1≥2x. 设P＝2a(a－2)＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有( A ) A．P≥Q B．P＞Q C．P＜Q D．P≤Q 3. 重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 不等式a2＋b2≥2ab中，“当且仅当”的含义： (1)当a＝b时，a2＋b2≥2ab等号成立，即a＝b⇒a2＋b2＝2aB． (2)仅当a＝b时，a2＋b2≥2ab等号成立，即a2＋b2＝2ab⇒a＝B． [对应学生用书P28] 知识点一　用不等式(组)表示不等关系 (1)一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为__8(x＋19)>2 200__；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__8x>9(x－12)__． 解析：若这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，即现在每天行驶的路程为(x＋19) km，则不等关系“在8天内它的行程就超过2 200 km”，写成不等式为8(x＋19)＞2 200. 若每天行驶的路程比原来少12 km，即现在每天行驶的路程为(x－12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”，用不等式表示为8x＞9(x－12). (2)某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆， 则 (1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等式所联系的量； ②用适当的不等号连接； ③多个不等关系用不等式组表示． (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于， 高于，超过 小于， 低于，少于 大于等于， 至少，不低于 小于等于， 至多，不超过 符号 语言 ＞ ＜ ≥ ≤ 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式(组). 解：设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根． 根据题意得 知识点二　作差法比较大小 已知x＞1，比较x3－