第二章 2.3 第2课时 一元二次不等式的应用（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

第2课时　一元二次不等式的应用 [对应学生用书P41] 1．简单的分式不等式的解法 ＞0变形为(x－3)(x＋2)＞0有什么好处？ ＞0与(x－3)(x＋2)＞0等价吗？将 答案：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式． 若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于( B ) A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤1} 2．不等式恒成立问题 (1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c＞0 ax2＋bx＋c＜0 a＝0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k 若函数y＝ax2＋2x＋2对一切x∈R，y＞0恒成立，如何求实数a的取值范围？ 答案：若a＝0，显然y＞0不能对一切x∈R都成立．所以a≠0，此时只有二次函数y＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则. ，即实数a的取值范围是解得a＞ 对∀x∈R，不等式x2＋2x＋m＞0恒成立，则实数m的取值范围是{m|m＞1}． 3．利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 　汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素． 在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2. 如何判断甲、乙两车是否超速？ 答案：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，即x2＋10x－1 200＞0，解得x＞30或x＜－40(不符合实际意义，舍去). 这表明甲车的车速超过30 km/h，但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2 000＞0，解得x＞40或x＜－50(不符合实际意义，舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速． [对应学生用书P42] 知识点一　解简单的分式不等式 解下列不等式： (1)＜0； (2)≤1. 解：(1)＜0⇔(x－3)(x＋2)＜0⇔－2＜x＜3， ∴原不等式的解集为{x|－2＜x＜3}． (2)∵≤1， ∴－1≤0， ∴≥0.≤0，即 此不等式等价于(x－4)或x≥4， ≠0，解得x＜≥0且x－ ∴原不等式的解集为. (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 解下列不等式： (1)≥0； (2)＜3. 解：(1)不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组，可得x≤－1或x＞3. 即原不等式的解集为{x|x≤－1，或x＞3}． (2)不等式－3＜0， ＜3可改写为 即＜0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)＜0， 解得－1＜x＜1. 所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}． 知识点二　一元二次不等式的实际应用 某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时(该城市电力成本价为0.30元/千瓦时).经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2A．试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%? 解：设新电价为x元/千瓦时(0.55≤x≤0.75)， 则新增用电量为千瓦时． 依题意，有(x－0.3)≥a(0.8－0.3)(1＋20%)， 即(x－0.2)(x－0.3)≥0.6(x－0.4)， 整理得x2－1.1x＋0.3≥0， 解此不等式，得x≥0.6或x≤0.5， 又0.55≤x≤0.75，所以0.6≤x≤0.75，因此xmin＝0.6，即电价最低为0.6元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.