第二章 2.2 第2课时 基本不等式的应用（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

第2课时　基本不等式的应用 [对应学生用书P35] 应用基本不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值． (1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2． (2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2． (1)利用基本不等式求最值时要牢记三个关键词：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须大于0. ②二定：各项之和或各项之积为定值． ③三相等：必须验证等号成立时条件是否具备． (2)应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最值，探求的过程中常需根据具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换． 已知x，y为正数，且＝1，求x＋y的最小值．＋ 下面是某同学的解题过程： 解：因为x＞0，y＞0，所以1＝≥2×4＝8.故x＋y的最小值为8.≥4.从而x＋y≥2，所以＝≥2×＋ 请分析上面的解法是否正确，若不正确，请给出正解． 答案：这个同学的解法是错误的．理由如下． 上述解法中连续两次使用基本不等式，但这两个不等式中的等号不能同时成立，第一个不等式当且仅当，即x＝2，y＝8时，等号成立；第二个不等式当且仅当x＝y时，等号成立，因此x＋y不能等于8.＝＝ 正解：∵x＞0，y＞0，即x＝3，y＝6时，等号成立．故x＋y的最小值为9.＋5＝9，当且仅当＋5≥2＋＋4＝＋＝1＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·＋ (1)已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是2． (2)已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是50． [对应学生用书P35] 知识点一　利用基本不等式求最值 (1)已知x＜的最大值；，求y＝4x－2＋ (2)已知0＜x＜x(1－2x)的最大值．，求y＝ 解：(1)∵x＜，∴5－4x＞0， ∴y＝4x－2＋＋3≤－2＋3＝1， ＝－ 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立． 故当x＝1时，ymax＝1. (2)∵0＜x＜， ∴1－2x＞0， ∴y＝.＝×＝××2x(1－2x)≤ ∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝.时，ymax＝时上式等号成立．故当x＝ 利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立的条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向：若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章§3.2函数的基本性质求解． (1)已知x＞0，求函数y＝的最小值； (2)已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值． 解：(1)∵y＝＋5＝9， ＋5≥2＝x＋ 当且仅当x＝，即x＝2时等号成立． 故y＝(x＞0)的最小值为9. (2)(方法一)∵0＜x＜， ∴1－3x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝.＝·3x(1－3x)≤ 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时等号成立． ∴当x＝.时，函数取得最大值 (方法二)∵0＜x＜， ∴－x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x， ＝≤3· 当且仅当x＝时等号成立．－x，即x＝ ∴当x＝. 时，函数取得最大值 知识点二　基本不等式的实际应用 (2020·山东枣庄高一学情检测)某厂家举行大型促销活动，经测算当某产品的促销费用为x(单位：万元)时，销售量P(单位：万件)满足P＝3－万元/万件．(其中0≤x≤2).现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本(10＋2P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为 (1)将该产品的利润y(单位：万元)表示为促销费用x(单位：万元)的函数； (2)当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润． 解：(1)当促销费用为x时， 付出的成本是x＋10＋2， 销售收入是， × 故y＝－× ， 整理可得y＝16－，0≤x≤2. (2)根据(1)中所求， y＝16－≤16－ ＝16－3＝13，当且仅当x＝1时等号成立． 故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元． 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解决实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． 　如图，动物园要围成面积相等的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 解