第二章 名师微课 不等式恒成立、能成立问题（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

名师微课　不等式恒成立、能成立问题 [对应学生用书P44] 在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养． 一、判别式法解决恒成立问题 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)＜0恒成立．求实数k的取值范围； (2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意． 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)， 由y＜0恒成立， 知其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点． ∴ 解得－1＜k＜0. 综上，实数k的取值范围是{k|－1＜k≤0}． (2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0， ∵该不等式对任意实数x恒成立， ∴Δ≤0， 即4－4(a2－3a－3)≤0， 即a2－3a－4≥0， 解得a≤－1或a≥4， ∴实数a的取值范围是{a|a≤－1，或a≥4}． 二、数形结合法解决恒成立问题 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求m的取值范围． 解：令y＝x2＋mx＋4. ∵当1≤x≤2时，y＜0恒成立． ∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图， 得 ∴ ∴m的取值范围是{m|m＜－5}． 三、分离参数法解决恒成立问题 设函数y＝mx2－mx－1，1≤x≤3，若y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解：y＜－m＋5恒成立， 即m(x2－x＋1)－6＜0恒成立， ∵x2－x＋1＝＞0， ＋ 又m(x2－x＋1)－6＜0， ∴m＜. ∵y＝， 在1≤x≤3上的最小值为＝ ∴m的取值范围是. 四、“反客为主”法解决恒成立问题 已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y＜0恒成立，求实数x的取值范围． 解：y＜0⇔mx2－mx－6＋m＜0⇔(x2－x＋1)m－6＜0. ∵1≤m≤3， ∴x2－x＋1＜恒成立， ∴x2－x＋1＜.＜x＜⇔x2－x－1＜0⇔ ∴x的取值范围为. 五、利用图象解决能成立问题 当1＜x＜2时，关于x的不等式x2＋mx＋4＞0有解，则实数m的取值范围为_{m|m＞－5}_． 解析：记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象知，不等式x2＋mx＋4＞0(1＜x＜2)一定有解，即m＋5＞0或2m＋8＞0，解得m＞－5，所以实数m的取值范围是{m|m＞－5}． 六、转化为函数的最值解决能成立问题 若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围． 解：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2， 即m的取值范围为{m|m≥－2}． $