第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末回顾与提升（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

[对应学生用书P45] 一、不等式的性质及应用 1．不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解． 2．掌握不等式的性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养． (1)(多选)设a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式恒成立的是(　AC　) A．a3＜b3 B．a2＜b2 C．＞ D．＜ 解析：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·， ∵a＜b，∴a－b＜0，又b2＞0，∴a3＜b3，故选项A中不等式恒成立；＋ 当a＝－2，b＝1时，a＜b，但(－2)2＞12，故选项B中不等式不恒成立； ＜0恒成立，故选项C中不等式恒成立；＝－ 当a＝－2，b＝1时，a＜b，但－＜1，故选项D中不等式不恒成立．故选AC． (2)已知a＞0，b＞0，且a≠b，比较与a＋b的大小．＋ 解：＝(a2－b2)＋－a＝－b＋－(a＋b)＝ ＝(a2－b2)， ＝ 因为a＞0，b＞0，且a≠b， 所以(a－b)2＞0，a＋b＞0，ab＞0， 所以＞a＋B．＋－(a＋b)＞0，即 [训练1] (1)若a＞b，x＞y，则下列不等式正确的是(　C　) A．a＋x＜b＋y B．ax＞by C．|a|x≥|a|y D．(a－b)x＜(a－b)y 解析：由a＞b，x＞y可得a＋x＞b＋y，故选项A错误；取a＝－2，b＝－3，x＝5，y＝1，满足a＞b，x＞y，但ax＜by，故选项B错误；因为|a|≥0，所以|a|x≥|a|y，故选项C正确；由a＞b可得a－b＞0，则(a－b)x＞(a－b)y，故选项D错误．故选C． (2)若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为__{a－b|－1≤a－b≤6}__． 解析：∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6. 二、基本不等式的应用 1．基本不等式：(a＞0，b＞0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现．≤ 2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养． 已知函数y＝x＋(m＞0). (1)若m＝1，求当x＞1时函数的最小值； (2)当x＜1时，函数有最大值－3，求实数m的值． 解：(1)若m＝1，则y＝x＋＋1.＝(x－1)＋ 因为x－1＞0，所以y＝(x－1)＋＋1＝2＋1＝3.＋1≥2 当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立． 所以当x＞1时，函数的最小值为3. (2)因为x＜1，所以x－1＜0，所以y＝x－1＋＋1.＋1＝－2]＋1≤－2＋1＝－[(1－x)＋ 当且仅当1－x＝时等号成立．，即x＝1－ 即函数的最大值为－2＋1. 所以－2＋1＝－3，解得m＝4. [训练2] (1)若实数a，b满足，则ab的最小值为(　C　)＝＋ A． D．4 B．2 C．2 解析：∵， ＝＋ ∴a＞0，b＞0， ∵， ≥2＋ 当且仅当b＝2a时等号成立， ∴.，解得ab≥2≥2 即ab的最小值为2.故选C． (2)已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝1，则_．的最小值是_4＋2 解析：， ＝4＋2≥4＋2·(x＋3y)＝4＋＝＋＝ 当且仅当.的最小值是4＋2时等号成立，所以，y＝，即x＝＝ 三、一元二次不等式的解法 1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 解关于x的不等式：ax2－(1＋a)x＋1≤0. 解：当a＝0时，不等式化为－x＋1≤0，解得x≥1. 当a≠0时，方程ax2－(1＋a)x＋1＝0化为(ax－1)(x－1)＝0，两根为x1＝1，x2＝. (1)a＞0时，分情况讨论：当0＜a＜1时，1≤x≤， 当a＝1时，x＝1； 当a＞1时，≤x≤1. (2)a＜0时，x≤或x≥1. 综上，当a＞1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x≥1}； 当a＜0时，不等式的解集为. [训练3] 若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是. (1)求a的值； (2)求不等式＞a＋5的解集． 解：(1)依题意，可得ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2， 由根与系数的关系，得 解得a＝－2. (2)将a＝－2代入不等式，得＞3， 即－3＞0， 整理得＞0， 即(x＋1)(x＋2)＜