1.1.1 不等式的基本性质-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修4-5同步资源（人教A版）

高中数学 选修4-5 不等式和绝对值不等式 测试内容：不等式 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 学习目标：1.理解实数大小与实数运算性质间的关系.2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．(重点、难点) 初次测验 教材整理1　两实数的大小比较 阅读教材P2～P3“探究”以上部分，完成下列问题． a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0. 1.已知数轴上两点A，B对应的实数分别为x，y，若x＜y＜0，则|x|与|y|对应的点P，Q的位置关系是(　　) A．P在Q的左边　 B．P在Q的右边 C．P，Q两点重合 D．不能确定 B　[∵x＜y＜0，∴|x|＞|y|＞0.故P在Q的右边．] 教材整理2　不等式的基本性质 阅读教材P3～P5第一行，完成下列问题． 性质1 对称性 a>b⇔b<a 性质2 传递性 如果a>b，b>c，那么a>c 性质3 可加性 如果a>b，那么a＋c>b＋c 推论 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d 性质4 可乘性 如果a>b，c>0，那么ac>bc； 如果a>b，c<0，那么ac<bc 推论 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd 性质5 乘方性质 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2) 性质6 开方性质 如果a>b>0，那么>(n∈N，n≥2) 2.已知a，b，c∈R，且ab＞0，则下面推理中正确的是(　　) A．a＞b⇒am2＞bm2 B.＞⇒a＞b C．a3＞b3⇒＜ D．a2＞b2⇒a＞b C　[对于A，若m＝0，则不成立；对于B，若c＜0，则不成立；对于C，a3－b3＞0⇒(a－b)(a2＋ab＋b2)＞0， ∵a2＋ab＋b2＝＋b2＞0恒成立， ∴a－b＞0，∴a＞b. 又∵ab＞0， ∴＜. ∴C成立；对于D，a2＞b2⇒(a－b)(a＋b)＞0，不能说a＞b.] 题型一：比较大小 【例1】　设A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且x>3，试比较A与B的大小． [精彩点拨]　转化为考察“两者之差与0”的大小关系． [自主解答]　A－B＝x3＋3－3x2－x ＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)(x－1)． ∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0， ∴x3＋3>3x2＋x. 故A>B. 1．本题的思维过程：直接判断(无法做到)考查差的符号(难以确定)考查积的符号考查积中各因式的符号．其中变形是关键，定号是目的． 2．在变形中，一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等． 练1．若例1中改为“A＝，B＝，其中x＞y＞0”，试比较A与B的大小． [解]　因为A2－B2＝－ ＝＝＝， 且x＞y＞0，所以x－y＞0，x＋y＞0，x2＞0，x2＋1＞1， 所以＞0. 所以A2＞B2，又A＞0，B＞0，故有A＞B. 题型二：利用不等式的性质求范围 【例2】　已知－≤α＜β≤，求，的范围． [精彩点拨]　由－≤α＜β≤可确定，的范围，进而确定，的范围． [自主解答]　∵－≤α＜β≤， ∴－≤＜，－＜≤， ∴－＜＜. 又－＜≤，∴－≤－＜， ∴－≤＜. 又∵α＜β，∴＜0， ∴－≤＜0， 即∈，∈. 1．本例中由，的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而应转化为同向不等式后作和求解． 2．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础． 练2．已知－6<a<8,2<b<3，分别求a－b，的取值范围． [解]　∵－6<a<8,2<b<3. ∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6， 则a－b的取值范围是(－9,6)． 又<<， (1)当0≤a<8时，0≤<4； (2)当－6<a<0时，－3<<0. 由(1)(2)得－3<<4. 因此的取值范围是(－3,4)． 题型三：利用性质证明简单不等式 【例3】　已知c>a>b>0，求证：>. [精彩点拨]　→→ [自主解答]　∵a>b，∴－a<－b. 又c>a>b>0， ∴0<c－a<c－b，∴>>0. 又∵a>b>0，∴>. 1．在证明本例时，连续用到不等式的三个性质，一是不等式的乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又－a<－b，则0<c－a<c－b；三是倒数性质．最后再次用到不等式的乘法性质． 2．进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，并仔细分析要证明不等式的结构，灵活运用性质，对不等式进行变换． 练3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，求证：＞. [证明]　∵a＞b＞0，c＞d＞0， ∴