1.1.1 不等式的基本性质-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-5）

数学 （选修 4 - 5·人教 A 版）　 详解答案 第一讲　 不等式和绝对值不等式 一　 不等式 1. 不等式的基本性质 新知导学 　 　 1. (1)①a - b > 0　 ②a - b = 0　 ③a - b < 0 (2)①a > b　 ②a = b　 ③a < b 2. (1)b < a　 (2)a > c　 (3) > 　 (4)ac > bc　 ac < bc　 (5) an > bn　 (6) n a > n b　 ①a + c > b + d　 ②a1 + a2 + … + an > b1 + b2 + … + bn　 ③ac > bd　 ④a1 a2 …an > b1 b2 …bn 3. (1)a - b > 0⇔a > b　 a - b = 0⇔a = b　 a - b < 0⇔a < b (2) 作差　 整理　 判断符号　 下结论 思考运用:1. 不一定. 如 a = - 1,b = 2. 事实上, 当 ab > 0 时,若 a < b,则有 1 a > 1 b ; 当 ab < 0 时,若 a < b,则有 1 a < 1 b ; 当 ab = 0 时,若 a < b,则 1 a 与 1 b 中有一个式子无意义. 2. 必要而不充分条件. 当 a > b 时,不能推得 ac2 > bc2 ,因为 当 c = 0 时,有 ac2 = bc2 ;若 ac2 > bc2 ,则 c≠0, 1 c2 > 0. 所以 ac2 · 1 c2 > bc2 · 1 c2 ,则 a > b. 互动探究解疑 　 　 典例试做 1:方法一:( a b + b a ) - ( a + b) = ( a b - b) + ( b a - a) = a - b b - a - b a = (a - b)( a - b) ab = ( a + b)( a - b) 2 ab . ∵ a、b 为正实数,∴ ( a + b)( a - b) 2 ab ≥0. ∴ a b + b a ≥ a + b,当且仅当 a = b 时取等号. 方法二: a b + b a a + b = ( a) 3 + ( b)3 ab( a + b) = ( a + b)(a + b - ab) ab( a + b) = a + b - ab ab = ( a - b) 2 + ab ab = 1 + ( a - b) 2 ab ≥1, 当且仅当 a = b 时取等号. ∵ a b + b a > 0, a + b > 0,∴ a b + b a ≥ a + b. 方法三:( a b + b a )2 - ( a + b)2 = a 2 b + b 2 a - a - b = a 3 + b3 - ab(a + b) ab = (a + b)(a - b) 2 ab . ∵ a、b 为正实数,∴ (a + b)(a - b) 2 ab ≥0. 于是有( a b + b a )2 ≥( a + b)2 . 又∵ a b + b a > 0, a + b > 0, ∴ a b + b a ≥ a + b. 当且仅当 a = b 时取等号. 　 　 跟 踪 练 习 1: m - n = 1 x + 1 y - 4 x + y = x + y xy - 4 x + y = (x + y)2 - 4xy xy(x + y) = (x - y) 2 xy(x + y) , ∵ x、y 均为正数, ∴ x > 0,y > 0,xy > 0,x + y > 0,(x - y)2 ≥0, ∴ m - n≥0 即 m≥n. 　 　 典例试做 2:(1) 不成立,令 a = 1,b = - 1,有 a > b,但 1 a > 1 b ,故(1)为假命题. (2)不成立,a > b > 0,c < 0,d > 0 时显然有 a c < b d ,故(2) 为假命题. (3)不成立,| a | > b > 0⇒ | a | n > bn,但 | a | n 与 an 可能相等, 也可能互为相反数,故(3)为假命题,如 a = - 2,b = 1,n = 3 时, | a | > b > 0,但 a3 = - 8 < 1 = b3 . (4)成立,因为n a > n b > 0,则 a > b;若n a > 0 > n b,则 a > 0 > b;若 0 > n a > n b,则 | b | > | a | ,0 > a > b, 所以 - b > - a,即 a > b. 故n a > n b⇒a > b(n∈N 且 n > 1), 故(4)为真命题. 　 　 跟踪练习 2:(1)D　 解法一:由已知 a > b, - d > - c, 所以 a - d > b - c(两同向不