1.3 不等式和绝对值不等式 章末复习-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修4-5同步资源（人教A版）

高中数学 选修4-5 章末复习 测试内容：章末复习 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 [自我校对]　①不等式的基本性质　②≥(a，b＞0)　③算术­几何平均值不等式　④绝对值三角不等式　⑤|x－a|＋|x－b|≥c型 题型一：不等式的性质及其应用 主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立；再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较；有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查．考查形式多以选择题出现． 【例1】　若a，b是任意实数，且a>b，则(　　) A．a2>b2　　　 B．<1 C．lg(a－b)>0 D．< D　[a>b并不能保证a，b均为正数，从而不能保证A，B成立．又a>b⇒a－b>0，但不能保证a－b>1，从而不能保证C成立．显然D成立．事实上，指数函数y＝是减函数，所以a>b⇔<成立．] 练1．若a＞0，b＞0，则下列与－b＜＜a等价的是(　　) A．－＜x＜0或0＜x＜ B．－＜x＜ C．x＜－或x＞ D．x＜－或x＞ D　[－b＜＜a，当x＜0时，－bx＞1＞ax，解得x＜－； 当x＞0时，－bx＜1＜ax，解得x＞.故应选D.] 题型二：基本不等式的应用 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值．在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”． 【例2】　求函数y＝x2(1－5x)的最大值． [自主解答]　y＝x2＝·x·x·， ∵0≤x≤， ∴－2x≥0， ∴y≤＝. 当且仅当x＝－2x，即x＝时，上式取等号． 因此ymax＝. 练2．已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值． [解]　y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3 ＝3－≤3－2＝1. 所以函数y＝4x－2＋的最大值为1. 题型三：绝对值不等式的解法 解绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成一般的不等式，主要的依据是绝对值的定义． 【例3】　已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|. (1)求不等式f(x)≤6的解集； (2)若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围． [自主解答]　(1)原不等式等价于 或 或 解得<x≤2或－≤x≤或－1≤x<－， 即不等式的解集为{x|－1≤x≤2}． (2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)| ＝4， ∴|a－1|>4，解此不等式得a<－3或a>5. 练3．若不等式|x－4|＋|3－x|＜a的解集是空集，求a的取值范围． [解]　设y＝|x－4|＋|3－x|，此题转化为求函数的最小值问题，若a不大于函数的最小值则不等式的解集为空集． y＝|x－4|＋|x－3|＝∴可以看出最小值为1， ∴a≤1时，不等式的解集为空集， 所以a的取值范围a≤1. 题型四：转化与化归的数学思想 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式简单的问题．在本章，我们讨论恒成立问题，向最值转化，通过不等式性质、基本不等式、绝对值不等式求最值等问题都用到了转化的思想． 【例4】　已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m，依据下列条件，分别求出m的取值范围： (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为. [自主解答]　由||x＋2|－|x＋3|| ≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1， 可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. (1)若不等式有解， 则m＜1，即m的取值范围是(－∞，1)． (2)若不等式解集为R，则m＜－1， 即m的取值范围是(－∞，－1)． (3)若不等式解集为，则m≥1， 即m的取值范围是[1，＋∞)． 练4．解不等式≤1. [解]　原不等式可以化为 |x2－5x＋4|≤|x2－4|(x≠±2)， ∴－(x2－4)≤x2－5x＋4≤x2－4， ① 或－(4－x2)≤x2－5x＋4≤4－x2， ② 由①得解得 ∴x≥. 由②得解得∴0≤x≤. ∴原不等式的解集为. 链接高考 1．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(　　) A．(－∞，4)　　　　　 B．(－∞，1) C．(1,4) D．(1,5) [解析]　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1. ②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4. ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A. [答案]