人教A版高中数学选修4-5 第一章 不等关系与基本不等式复习之恒成立问题的解法第一课时导学案

恒成立问题的求解策略导学案 高考数学复习中的恒成立问题，把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③分离变量型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤数形结合。 一、一次函数型 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。 例1．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。 分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。 练习1、设不等式ｘ２－（ａ＋１）ｘ－ａ２＞０对一切ａ∈（１，２）都成立，求ｘ的范围。 　　分析该不等式中参数ａ的次数有二次也有一次，不好处理。不妨把原不等式视ａ为主元，ｘ为参数的不等式来求参数ｘ的范围。 　 二、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有： 1）恒成立 2）恒成立 例.已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。 分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。 注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。 另解： 练习2：不等式-2cos2x+4sinx-k2+k<0对一切实数x恒成立，求参数k的取值范围。 三、二次函数型 （1）判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有 1）对恒成立