1.2.2 绝对值不等式的解法-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修4-5同步资源（人教A版）

高中数学 选修4-5 绝对值不等式 测试内容：绝对值不等式的解法 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 学习目标：1.理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．(难点)2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.(重点)3.能利用绝对值不等式解决实际问题． 初次测验 教材整理1　绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} |x|>a {x|x>a或x<－a} {x∈R|x≠0} R 教材整理2　|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 1．|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c. 2．|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 1.不等式|x＋1|＞3的解集是(　　) A．{x|x＜－4或x＞2}　 B．{x|－4＜x＜2} C．{x|x＜－4或x≥2} D．{x|－4≤x＜2} A　[由|x＋1|＞3，得x＋1＞3或x＋1＜－3，因此x＜－4或x＞2.] 教材整理3　|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 阅读教材P17～P19，完成下列问题． 1．利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．利用零点分段法求解． 3．构造函数，利用函数的图象求解． 2.不等式|x＋1|＋|x＋2|＜5的解集为(　　) A．(－3,2) B．(－1,3) C．(－4,1) D. C　[|x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x＋1|＋|x＋2|＜5解集是(－4,1)．] 题型一：|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式的解法 【例1】　求解下列不等式． (1)|3x－1|≤6；(2)3≤|x－2|＜4；(3)|5x－x2|＜6. [精彩点拨]　关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式． [自主解答]　(1)因为|3x－1|≤6⇔－6≤3x－1≤6， 即－5≤3x≤7，从而得－≤x≤， 所以原不等式的解集是 . (2)∵3≤|x－2|＜4，∴3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3，即5≤x＜6或－2＜x≤－1. 所以原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}． (3)法一　由|5x－x2|＜6，得|x2－5x|＜6. ∴－6＜x2－5x＜6. ∴∴ 即 ∴－1＜x＜2或3＜x＜6. ∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}． 法二　作函数y＝x2－5x的图象，如右图所示． |x2－5x|＜6表示函数图象中直线y＝－6和直线y＝6之间相应部分的自变量的集合． 解方程x2－5x＝6，得x1＝－1，x2＝6. 解方程x2－5x＝－6，得x′1＝2，x′2＝3. 即得到不等式的解集是{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}． 1．形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式的简单解法是利用等价转化法，即a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b)⇔a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a. 2．形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式的简单解法是等价命题法，即 (1)当a＞0时，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a. |f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a. (2)当a＝0时，|f(x)|＜a无解． |f(x)|＞a⇔|f(x)|≠0. (3)当a＜0时，|f(x)|＜a无解． |f(x)|＞a⇔f(x)有意义． 练1．解不等式： (1)3＜|x＋2|≤4； (2)|5x－x2|≥6. [解]　(1)∵3＜|x＋2|≤4，∴3＜x＋2≤4或－4≤x＋2＜－3，即1＜x≤2或－6≤x＜－5，所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2或－6≤x＜－5}． (2)∵|5x－x2|≥6，∴5x－x2≥6或5x－x2≤－6，由5x－x2≥6，即x2－5x＋6≤0， ∴2≤x≤3， 由5x－x2≤－6，即x2－5x－6≥0， ∴x≥6或x≤－1， 所以原不等式的解集为{x|x≤－1或2≤x≤3或x≥6}. 题型二：含参数的绝对值不等式的综合问题 【例2】　已知函数f(x)＝|x－a|. (1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值； (2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． [精彩点拨]　→ [自主解答]　(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3， 解得a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}， 所以解得a＝2. (