1.2.2 绝对值不等式的解法-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-5）

数学 （选修 4 - 5·人教 A 版）　 所以当 x < - 3 时,g(x) > 5; 当 - 3≤x≤2 时,g(x) = 5;当 x > 2 时,g(x) > 5. 综上可得,g(x)的最小值为 5. 从而,若 f(x) + f(x + 5)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成 立,则 m 的取值范围为( - ∞ ,5]. 解法二:(1)同解法一. (2)当 a = 2 时,f(x) = | x - 2 | . 设 g(x) = f(x) + f(x + 5). 由 | x - 2 | + | x + 3 | ≥ | (x - 2) - (x + 3) | = 5( 当且仅当 - 3 ≤x≤2 时等号成立)得,g(x)的最小值为 5. 从而,若 f(x) + f(x + 5)≥m 即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成 立,则 m 的取值范围为( - ∞ ,5]. 11. 解:由题知,| x - 1 | + | x - 2 | ≤ | a + b | + | a - b | | a | 恒成立, 则 | x - 1 | + | x - 2 | 小于或等于 | a + b | + | a - b | | a | 的最小值, ∵ | a + b | + | a - b | ≥ | a + b + a - b | = 2 | a | , 当且仅当(a + b)(a - b)≥0 时取等号, ∴ | a + b | + | a - b | | a | 的最小值等于 2, ∴ x 的范围即为不等式 | x - 1 | + | x - 2 | ≤2 的解. ∵ | x - 1 | + | x - 2 | 表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点 的距离之和, 又数 轴 上 的 1 2 , 5 2 对 应 点 到 1 和 2 对 应 点 的 距 离 之 和等于 2, ∴ 不等式的解集为[ 1 2 , 5 2 ]. B 级　 素养提升 1. A　 | x - 1 | + | x - 2 | 表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点 的距离之和,其最小值等于 1,故 a2 + a + 1≥1,即 a2 + a≥0, ∴ a≥0 或 a≤ - 1,又∵ 解集为⌀,∴ a∈( - 1,0),故选 A. 2. A　 当 a > 0,b < 0 时 | a + b | < a - b,故选 A. 3. A　 ∵ | x - a | < m,| y - a | < m, ∴ | x - a | + | y - a | < 2m, 又∵ | (x - a) - (y - a) | ≤ | x - a | + | y - a | , ∴ | x - y | < 2m,但反过来不一定成立, 如取 x = 3,y = 1,a = - 2,m = 2. 5,|3 - 1 | < 2 × 2. 5, 但 |3 - ( - 2) | > 2. 5,|1 - ( - 2) | > 2. 5, ∴ | x - y | < 2m 不一定有 | x - a | < m 且 | y - a | < m, 故“ | x - a | < m 且 | y - a | < m”是“ | x - y | < 2m” (x、y、a、m∈R)的充分非必要条件. 4. D　 当(a + b)(a - b)≥0 时, | a + b | + | a - b | = | (a + b) + (a - b) | = 2 | a | > 2, 当(a + b)(a - b) < 0 时, | a + b | + | a - b | = | (a + b) - (a - b) | = 2 | b | < 2. 5. 5　 | x - 2y + 1 | = | x - 1 - 2(y - 2) - 2 | ≤ | x - 1 | + 2 | y - 2 | + 2 ≤1 + 2 × 1 + 2 = 5. 6. ①③④　 ∵ x > 1, ∴ logx10 + lgx = 1 lgx + lgx≥2,①正确; 当 ab≤0 时,| a - b | = | a | + | b | ,②不正确; ∵ ab≠0, b a 与 a b 同号, ∴ | b a + a b | = | b a | + | a b | ≥2,③正确; 由 | x - 1 | + | x - 2 | 的几何意义知 | x - 1 | + | x - 2 | ≥1 恒成立,④也正确; 综上①③④正确. 7. ≥　 当 p,q 至少有一个为 0 时,| px + q x | ≥2 pq; 当 pq > 0,p,q 同号,则 px 与 q x 同号, 所以 | px + q x | = | px | + | q