1.2.1 绝对值三角不等式-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修4-5同步资源（人教A版）

高中数学 选修4-5 绝对值不等式 测试内容：绝对值三角不等式 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 学习目标：1.理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．(重点)2.会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．(难点、易错易混点) 初次测验 教材整理1　绝对值的几何意义 1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离． 2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度． 教材整理2　绝对值三角不等式 1．定理1　如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 2．在定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边． 1.对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是(　　) A．当a，b异号时，左边等号成立 B．当a，b同号时，右边等号成立 C．当a＋b＝0时，两边等号均成立 D．当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立 B　[当a，b异号且|a|＞|b|时左边等号才成立，A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．] 教材整理3　三个实数的绝对值不等式 定理2　如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 2.设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是(　　) A．|a＋b|＋|a－b|＞2　　 B．|a＋b|＋|a－b|＜2 C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不可能比较大小 B　[当(a＋b)(a－b)≥0时， |a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2； 当(a＋b)(a－b)＜0时， |a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.] 题型一：运用绝对值不等式求最值与范围 【例1】　对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围． [精彩点拨]　令t＝|x＋1|＋|x＋2|，只需m≤tmin. [自主解答]　法一　对x∈R，|x＋1|＋|x＋2| ≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1， 当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时， 即－2≤x≤－1时取等号． ∴t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1. ∴实数m的取值范围是(－∞，1]． 法二　t＝|x＋1|＋|x＋2| ＝ ∴t≥1，则t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1. 因此实数m的取值范围是(－∞，1]． 1．本题也可利用绝对值的几何意义求解． 2．对于含有两个绝对值及以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值． 练1．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集； (2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围． [解]　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3. 所以f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a， 当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.① 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解． 当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2. 所以a的取值范围是[2，＋∞)． 题型二：含绝对值不等式的证明 【例2】　设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：<2. [精彩点拨]　不管|a|，|b|,1的大小，总有m≥|a|，m≥|b|，m≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明． [自主解答]　依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1. 又|x|>m， ∴|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1，从而|x|2>|b|. 因此≤＋ ＝＋<＋＝2，即<2. 1．将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键． 2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度． 练2．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，且|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)． [证明]　|f(x)－f(a)| ＝|(x2－x＋c)