3．绝对值三角不等式-湖北省通山县第一中学高中数学选修4-5导学案（无答案）

3．绝对值三角不等式 一、基础知识 先看课本，完成课后练习 绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当_____时，等号成立． 几何解释：用向量a，b分别替换a，b. ①当a与b不共线时，有|a＋b|<|a|＋|b|，其几何意义为：___________ ②若a，b共线，当a与b_____时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b____时，|a＋b|<|a|＋|b|. 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|. 当且仅当___________时，等号成立． 几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C， 当点B在点A，C之间时，|a－c|___|a－b|＋|b－c|. 当点B不在点A，C之间时： ①点B在A或C上时，|a－c|____|a－b|＋|b－c|； ②点B不在A，C上时，|a－c|____|a－b|＋|b－c|. 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值． 二、活学活用 含绝对值不等式的判断与证明 例1、已知|A－a|<，|B－b|<，|C－c|<. 求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|<s. 含绝对值不等式的证明题两种类型及解法 (1)比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明； (2)综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明． 绝对值三角不等式的应用 例2(1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值． (2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，求实数a的取值范围． 小结：(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式． (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键． 课后练习 1．以下四个命题： ①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ②若|a－b|<1，则|a|<|b|＋1； ③