1.1.3 三个正数的算术- 几何平均不等式-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修4-5同步资源（人教A版）

高中数学 选修4-5 不等式和绝对值不等式 测试内容：三个正数的算术­几何平均不等式 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 学习目标：1.探索并了解三个正数的算术­几何平均不等式的证明过程.2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．(重点)3.会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．(难点) 初次测验 教材整理1　三个正数的算术­几何平均不等式 1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均． 1.已知a，b，c为正数，则＋＋有(　　) A．最小值为3　 B．最大值为3 C．最小值为2 D．最大值为2 A　[＋＋≥3＝3， 当且仅当＝＝，即a＝b＝c时，取等号．] 教材整理2　基本不等式的推广 对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立． 教材整理3　利用基本不等式求最值 若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么a＝b＝c时，积abc有最大值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和a＋b＋c有最小值． 2.设x＞0，则y＝x＋的最小值为(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 题型一：证明简单的不等式 【例1】　设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)2≥27. [精彩点拨]　根据不等式的结构特点，运用a＋b＋c≥3，结合不等式的性质证明． [自主解答]　∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b＋c≥3>0， 从而(a＋b＋c)2≥9>0. 又＋＋≥3>0， ∴(a＋b＋c)2 ≥3·9＝27， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看． 2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致． 练1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明： (1)＋＋≤a2＋b2＋c2； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. [证明]　(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1， 故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ＝ ＝＋＋. 所以＋＋≤a2＋b2＋c2. (2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2)×(2)×(2) ＝24， 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. 题型二：用平均不等式求解实际问题 【例2】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k.这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？ [精彩点拨]　根据题设条件建立r与θ的关系式，将它代入E＝k，得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值． [自主解答]　∵r＝， ∴E＝k·. ∴E2＝·sin2θ·cos4θ ＝(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3＝， 当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号， 即tan2θ＝，tan θ＝时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝，即h＝时，E最大． 因此选择灯的高度为米时，才能使桌子边缘处最亮． 1．本题的关键是在获得了E＝k·后，对E的函数关系式进行变形求得E的最大值． 2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解． 练2．制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？ [解]　设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面积为πr2平方米，侧面积为2πrh平方米． 设用料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh. ∵桶的容积为， ∴πr2h＝， ∴rh＝. ∴y＝30πr2＋π＝10π≥10π×3， 当且仅当3r2＝时， 即r＝时等号成立，此时h＝. 故要使用料成本