4.3 数学归纳法证明不等式 章末复习-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修4-5同步资源（人教A版）

高中数学 选修4-5 章末复习 测试内容：章末复习 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 [自我校对]　①等式问题　②证明不等式　③贝努利不等式 题型一：归纳递推要用好归纳假设 数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用．在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(n＝k时命题成立)，推出n＝k＋1时，命题成立． 【例1】　用数学归纳法证明：对于n∈N＋， ＋＋＋…＋＝. 练习1．数列的前n项的和记为Sn. (1)求出S1，S2，S3的值； (2)猜想出Sn的表达式； (3)用数学归纳法证明你的猜想． 题型二：不等式证明中的强化命题 如果c为常数，用数学归纳法证明f(n)<c一类不等式时，从k到k＋1的归纳过渡很易卡断思路，此时利用g(n)＝c，且g(n)<c，把命题结论强化，即把c换成g(n)．由于归纳假设也随之加强，这样强化了命题更易于用数学归纳法证明． 【例2】　证明不等式＋＋…＋<1(n≥2，n∈N＋)． 练2．设0<a<1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a， 求证：对一切正整数n∈N＋，有1<an<. 题型三：从特殊到一般的数学思想方法 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想、探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法． 【例3】　已知数列{bn}是等差数列，且b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145. (1)求数列{bn}的通项公式bn； (2)设数列{an}的通项an＝loga(其中a＞0，且a≠1)，Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与logabn＋1的大小，并证明你的结论． 练3．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列． (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：＋＋…＋<. 链接高考 1．已知数列{an}的各项均为正数，bn＝nnan，e为自然对数的底数． (1)求函数f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较n与e的大小； (2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明； (3)令cn＝(a1a2…an)，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn. 2．设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x>0，n∈N，n≥2. (1)证明：函数Fn(x)＝fn(x)－2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn＝＋x； (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明． fn(x)<gn(x)． $高中数学 选修4-5 章末复习 测试内容：章末复习 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 [自我校对]　①等式问题　②证明不等式　③贝努利不等式 题型一：归纳递推要用好归纳假设 数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用．在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(n＝k时命题成立)，推出n＝k＋1时，命题成立． 【例1】　用数学归纳法证明：对于n∈N＋， ＋＋＋…＋＝. [自主解答]　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，所以等式成立． (2)假设n＝k时等式成立，即 ＋＋＋…＋＝， 当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋ ＝＋ ＝＝， 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知对于任意的自然数n，等式都成立． 练习1．数列的前n项的和记为Sn. (1)求出S1，S2，S3的值； (2)猜想出Sn的表达式； (3)用数学归纳法证明你的猜想． [解]　(1)S1＝，S2＝，S3＝. (2)猜想：Sn＝. (3)证明：①当n＝1时S1＝a1＝，右边＝.等式成立． ②假设当n＝k时，Sk＝， 则当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝＋＝＝＝， 即当n＝k＋1时，等式成立， ∴Sn＝. 题型二：不等式证明中的强化命题 如果c为常数，用数学归纳法证明f(n)<c一类不等式时，从k到k＋1的归纳过渡很易卡断思路，此时利用g(n)＝c，且g(n)<c，把命题结论强化，即把c换成g(n)．由于归纳假设也随之加强，这样强化了命题更易于用数学归纳法证明． 【例2】　证明不等式＋＋…＋<1(n≥2，n∈N＋)． [自主解答]　可先证明＋＋…＋<1－(n≥2)，(*) 对(*)运用数学归纳法证明： (1)当n＝2时，(*)显然成立． (2)设n＝k时，不等式(*)成立，即＋＋…＋<1－. 当