知识整合与阶段检测（四）（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-5【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

知识整合与阶段检测（四） 突破一　归纳－猜想－证明 不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳——猜想——证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题． 例1►设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1，2，3，… (1)当a1＝2，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式； (2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有①an≥n＋2；②＋＋…＋≤. 【解析】　(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3； 由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4； 由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5. 由此猜想：an＝n＋1(n∈N＋)． (2)①用数学归纳法证明： 当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立； 假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2， 那么当n＝k＋1时， ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1 ≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1 ≥k＋3＝(k＋1)＋2， 也就是说，当n＝(k＋1)时，ak＋1≥(k＋1)＋2. 综上可得，对于所有n≥1，有an≥n＋2. ②由an＋1＝an(an－n)＋1及①，对k≥2，有 ak＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1 ＝2ak－1＋1≥2·(2ak－2＋1)＋1＝22ak－2＋2＋1 ≥23ak－3＋22＋2＋1≥… ∴ak≥2k－1a1＋2k－2＋…＋2＋1＝2k－1a1＋2k－1－1 ＝2k－1(a1＋1)－1， 于是1＋ak≥2k－1(a1＋1)，≤·，k≥2. ∴＋＋…＋ ≤＋ ＝ ＝·＜≤＝. 因此，原不等式成立． 突破二　数学归纳法证题的常用技巧 在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的．其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)成立”是问题的条件，而“命题P(k＋1)成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧． 1．分析综合法 用数学归纳法证明关于正整数n的不等式，从“P(k)”到“P(k＋1)”，常常可用分析综合法． 例2►求证：＋＋…＋＜，n∈N＋. 【证明】　(1)当n＝1时，因为＝＜1，所以原不等式成立．[来源:学科网] (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，原不等式成立，即有 ＋＋…＋＜， 当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＜＋. 因此，欲证明当n＝k＋1时，原不等式成立， 只需证明＋＜成立． 即证明－＞. 从而转化为证明＞， 也就是证明＞＋， 即()2－(＋)2 ＝k2＋k＋1－2＝(－1)2＞0， 从而＞＋. 于是当n＝k＋1时，原不等式也成立． 由(1)、(2)可知，对于任意的正整数n，原不等式都成立． 2．放缩法 涉及关于正整数n的不等式，从“k”过渡到“k＋1”，有时也考虑用放缩法． 例3►求证：1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)． 【证明】　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝. 左边＞右边，∴不等式成立． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立， 即1＋＋＋…＋＞. 当n＝k＋1时， 1＋＋＋…＋＋＋…＋2k－1项 ＞＋2k－1·＝. ∴n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)、(2)可知，1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)． 3．递推法 用数学归纳法证明与数列有关的问题时，有时要利用an与an＋1的关系，实现从“k”到“k＋1”的过渡． 例4►设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a， 求证：对一切n∈N＋，有1＜an＜. 【证明】　用数学归纳法证明． (1)当n＝1时，a1＞1，又a1＝1＋a＜，显然命题成立． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立， 即1＜ak＜. 当n＝k＋1时，由递推公式，知 ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1， 同时，ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜， 当n＝k＋1时，命题也成立，即1＜ak＋1＜. 综合(1)、(2)可知，对一切正整数n，有1＜an＜. 4．凑成法 用数学归纳法证明关于正整数的命题(尤其是整除)时，从“k”过渡到“k＋1”常常用凑成法． 例5►求证：62n＋3n＋2＋3n是11的倍数(n∈N＋)． 【证明】　(1)当n＝1时，62×1＋31＋2＋31＝66是11的倍数． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立． 即62k＋3k＋2＋3k是11的倍数，则当n＝k＋1时， 62(k＋1)＋3k＋3＋3k＋1＝62k＋2＋3k＋3＋3k＋1 ＝36·62k＋3·3k＋2＋3·3k ＝33·62k＋3·62k＋3·3k＋2＋3·3k ＝33·62k＋3(62k＋3k＋2＋3k)． 由假设可知3(62k＋3k＋2＋3k)是11的