打包 第四讲 数学归纳法证明不等式（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-5【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第一节　数学归纳法 [课标领航]　1.了解数学归纳法的原理．　2.了解数学归纳法的使用范围．　3.会用数学归纳法证明一些简单问题． 1．数学归纳法的概念 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当________时命题成立； (2)假设当____________时命题成立，证明________时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2．数学归纳法的基本过程 自我校对 1．(1)n＝n0 (2)n＝k(k∈N＋，且k≥n0)　n＝k＋1. 1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)”时，在验证当n＝1成立时，左边计算所得的结果是(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B.1＋a C．1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a3[来源:学_科_网] 解析：由于等式左边当n＝1时，幂数的最大值为1＋1＝2， ∴左边计算结果为1＋a＋a2或在等式中左边共有n＋2项，∴n＝1时，共有3项．∴选C. 答案：C 2．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k成立，则当n＝k＋1时应得到(　　) A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1 B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1 C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1 D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k 解析：当n＝k时，等式为1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，只需在归纳假设两端同时加上2k，即1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k. 答案：D 3．用数学归纳法证明“＋＋…＋≥(n∈N＋)”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是(　　) A. B.＋ C.＋－ D.＋－－ 解析：当n＝k时，不等式为＋＋…＋≥.当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋＋.比较n＝k和n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是＋－. 答案：C 4．用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，在归纳假设中，假设当n＝k时命题成立，那么下一步应证明n＝________时命题也成立． 答案：k＋2 5．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N＋”，当n＝1时，左端为________． 解析：n＝1时，左端＝1×4＝4. 答案：4 1．数学归纳法及其证明思路 归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般结论的推理方法．它包括不完全归纳法和完全归纳法． 不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出的一般结论的推理方法．比如在学习数列的知识时，我们可以通过观察数列的前几项来写数列的通项公式，这个过程就是用的不完全归纳法，我们知道仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论有时是不正确的．例如，一个数列的通项公式是an＝(n2－5n＋5)2，容易验证a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1.但如果由此作出结论——对任何n∈N＋，an＝(n2－5n＋5)2＝1都成立，那就是错误的，事实上，a5＝25≠1. 完全归纳法是根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法． 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用，用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论． 2．数学归纳法的适用范围和n0值的确定 数学归纳法一般用来证明某些涉及正整数n的命题，n可取无限多值，但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明，例如用数学归纳法证明(n∈N＋)的单调性就难以实现，一般说来，从k＝n到k＝n＋1时，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难． 在运用数学归纳法时，要注意起点，n并非一定取1，也可能取0，2等值，要看清题目，比如证明凸n边形的内角和f(n)＝(n－2)×180°，这里面的n应不小于3，即n≥3，第一个值n0＝3. 归纳假设的利用是数学归纳法证明的关键，这也是能否由“n＝k”递推到“n＝k＋1”的关键，在证明过程中，需根据命题的变化或者在步骤的变化中，从数学式子的结构特点上，利用拼凑的方法，凑假设，凑结论，从而使“递推关系”得以顺利进行，命题得以证明． 3．数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的原因 这是因为第一步首先验证了n取第一个值n0时成立，这样假设就有了存在的基础．假设n＝k时成立，根据假设和合理推证，证明出n＝k＋1也成立．这实质上是证明了一种循环．如验证了n0＝1成立，又证明了n＝k＋1也成立，这就一定有n＝2成立，n＝2成立，则n＝3也成立；n＝