4.2 用数学归纳法证明不等式举例-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修4-5同步资源（人教A版）

高中数学 选修4-5 用数学归纳法证明不等式 测试内容：用数学归纳法证明不等式举例 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 学习目标：1.会用数学归纳法证明简单的不等式．(重点)2.会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．(难点) 初次测验 教材整理　用数学归纳法证明不等式 1．贝努利(Bernoulli)不等式 如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>1＋nx. 2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行． 1.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　) A．2　　　　　　 B．3 C．5 D．6 题型一：数学归纳法证明不等式 【例1】　已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)． 练1．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>， f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，…” .试问：f(2n－1)与大小关系如何？试猜想并加以证明． 【例2】　证明：2n＋2>n2(n∈N＋)． 练2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式…＞均成立． 题型二：不等式中的探索、猜想、证明 【例3】　若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论． 练3．设an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论． 课堂小测 1．数学归纳法适用于证明的命题的类型是(　　) A．已知⇒结论　　　 B．结论⇒已知 C．直接证明比较困难 D．与正整数有关 2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋＜2－ B．1＋＋＜2－ C．1＋＜2－ D．1＋＋＜2－ 3．用数学归纳法证不等式1＋＋＋…＋＞成立，起始值至少取(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 4．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N＋，n>1)时，第一步证明不等式________成立． 5．试证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)． $高中数学 选修4-5 用数学归纳法证明不等式 测试内容：用数学归纳法证明不等式举例 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 学习目标：1.会用数学归纳法证明简单的不等式．(重点)2.会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．(难点) 初次测验 教材整理　用数学归纳法证明不等式 1．贝努利(Bernoulli)不等式 如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>1＋nx. 2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行． 1.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　) A．2　　　　　　 B．3 C．5 D．6 C　[n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.] 题型一：数学归纳法证明不等式 【例1】　已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)． [精彩点拨]　先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推． [自主解答]　(1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝>1＋， 即n＝2时命题成立． (2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋. 当n＝k＋1时， S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋ >1＋＋＋＋…＋ >1＋＋＝1＋＋＝1＋. 故当n＝k＋1时，命题也成立． 由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立． 此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是＋＋…＋共有多少项之和，实际上 2k＋1到2k＋1是自然数递增，项数为2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k. 练1．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>， f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，…” .试问：f(2n－1)与大小关系如何？试猜想并加以证明． [解]　数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列，1，，2，…