高中数学人教A版选修4-5 第四讲 二 用数学归纳法证明不等式 课件(共30张PPT)

新课导入 回顾旧知 数学归纳法的步骤： (1)证明当n=n0时命题成立； (2)假设当n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 4.1用数学归纳法证明不等式 教学目标 知识与能力 会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式). 过程与方法 通过例题的学习，能够证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式). 情感态度与价值观 培养学生严密的逻辑思维能力和严谨的态度. 教学重难点 重点 难点 会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努利不等式). 灵活运用数学归纳法. 例1 观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论. {an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,… 分析 由数列的前几项猜想，从第5项起，an<bn即n2<2n(n N+,n≥5)，用数学归纳法证明上述猜想时，第(1)步应该证明n=5的情形. 证 明 (1)当n=5时，52<25，命题成立. (2)假设n=k(k≥5)时，命题成立， 即k2<2k. 当n=k+1时，因为(k+1)2=k2+2k+1<k2+3k<2k2<2k+1 由(1)(2)知，n2<2n(n N+,n≥5) 所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立. 例2 证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n N+) 分析 这是个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式. 证 明 (1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即有│sinkθ│≤k│sinθ│ 由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立. 当n=k+1时， │sin(k+1)θ│ =│sinkθcosθ+coskθsinθ│ ≤│sinkθcosθ│+ │coskθsinθ│ = │sinkθ││cosθ│+ │coskθ││sinθ│ ≤k │sinθ│+ │sinθ│ =(k+1) │sinθ│ 例3 证明贝努利不等式： 如果x是实数，且x>-1,x 0 ,n为大于1的自然数，那么有(1+x)n>1+nx 分析 贝努利不等式中涉及两个