4.1～4.2 数学归纳法 用数学归纳法证明不等式-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-5）

数学 （选修 4 - 5·人教 A 版）　 = a 11 b + b 11 c + c 11 a . ① 又因为　 a11 ≥b11 ≥c11 , 1 a ≤ 1 b ≤ 1 c , 再次由排序不等式:反序和≤乱序和得 a11 a + b 11 b + c 11 c ≤a 11 b + b 11 c + c 11 a . ② 由①②得 a12 bc + b 12 ca + c 12 ab ≥a10 + b10 + c10 . 21. 由柯西不等式知 [12 + ( 2)2 + ( 3)2 ][a2 + ( 2b)2 + ( 3c)2 ] ≥(1·a + 2· 2b + 3· 3c)2 即 6 × (a2 + 2b2 + 3c2 )≥ (a + 2b + 3c)2 又∵ a2 + 2b2 + 3c2 = 6, ∴ 6 × 6≥(a + 2b + 3c)2 , ∴ - 6≤a + 2b + 3c≤6, ∵ 存在实数 a、b、c,使得不等式 a + 2b + 3c > | x + 1 | 成立. ∴ | x + 1 | < 6,∴ - 7 < x < 5. ∴ x 的取值范围是{x | - 7 < x < 5}. 22. 设 b1 ,b2 ,…,bn - 1 是 a1 ,a2 ,…,an - 1 的一个排列,且 b1 < b2 < … < bn - 1 , c1 ,c2 ,…,cn - 1 为 a2 ,a3 ,…,an 的一个排列,且 c1 < c2 < … < cn - 1 , 于是 1 c1 > 1 c2 > … > 1 cn - 1 , 由排序不等式:乱序和≥反序和得 a1 a2 + a2 a3 + … + an - 1 an ≥ b1 c1 + b2 c2 + … + bn - 1 cn - 1 , 由于 b1 ≥1,b2 ≥2,…,bn - 1 ≥n - 1,c1 ≤2,c2 ≤3,…,cn - 1 ≤n, 于是 b1 c1 + b2 c2 + … + bn - 1 cn - 1 ≥ 1 2 + 2 3 + … + n - 1 n , 即 1 2 + 2 3 + … + n - 1 n ≤ b1 c1 + b2 c2 + … + bn - 1 cn - 1 . ∴ 1 2 + 2 3 + … + n - 1 n ≤ a1 a2 + a2 a3 + … + an - 1 an . 第四讲　 用数学归纳法证明不等式 一　 数学归纳法 二　 用数学归纳法证明不等式 新知导学 　 　 1. n = n0　 n = k(n∈N + ,且 k≥n0)　 n = k +1　 数学归纳法 2. 1 + nx 3. 1 + αx　 1 + αx 思考运用:1. 在应用贝努利不等式时要注意应用条件 x > -1, 且 x≠0. 2. 不一定. 3. 不可以. 这两个步骤缺一不可,只完成步骤①而缺少步骤 ②,就作出判断可能得出不正确的结论. 因为单靠步骤①,无法 递推下去,即 n 取 n0 以后的数时命题是否正确,我们无法判定. 同样,只有步骤②而缺少步骤①时,也可能得出不正确的结论, 缺少步骤①这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤②也就 没有意义了. 互动探究解疑 　 　 典例试做 1:(1)当 n = 1 时,左边 = 1 + 1 = 2,右边 = 21 ·1 = 2,等式成立. (2)假设当 n = k 时等式成立,即 (k + 1)(k + 2)…(k + k) = 2k·1·3·…·(2k - 1), 则当 n = k + 1 时, (k + 2)(k + 3)…(k + 1 + k) (k + 1 + k + 1) = (k + 2) ·(k + 3)… + (k + k)(2k + 1)(2k + 2) = (k + 1)(k + 2)…(k + k)·2(2k + 1) = 2k·1·3·…·(2k - 1)·2(2k + 1) = 2k + 1 ·1·3…·(2k - 1)(2k + 1), 即当 n = k + 1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N + ,等式成立. 　 　 跟踪 练 习 1: B 　 根 据 等 式 左 边 的 特 点, 各 数 是 先 递 增 再递减, 由于 n = k,左边 = 12 + 22 + … + ( k - 1)2 + k2 + ( k - 1)2 + … + 22 + 12 , n = k + 1 时,左边 = 12 + 22 + … + (k - 1)2 + k2 + (k + 1)2 + k2 + (k - 1)2 + … + 22 + 12 ,比较两式,从而等式左边应添加的 式子是(k + 1)2 + k2 . 　 　 典例试做 2:(1)当 n = 0,不等