3.4 柯西不等式与排序不等式 章末复习-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修4-5同步资源（人教A版）

高中数学 选修4-5 章末复习 测试内容：章末复习 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 [自我校对]　①一般形式的柯西不等式　②柯西不等式的三角形式　③反序和　④顺序和　⑤排序原理 利用柯西不等式证明简单不等式 柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式． 【例1】　已知a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤4. [自主解答]　因为a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，令m＝(，，)， n＝(1,1,1)， 则|m·n|2＝(＋＋)2， |m|2·|n|2＝3[(13a＋1)＋(13b＋1)＋(13c＋1)] ＝3[13(a＋b＋c)＋3]＝48. ∵|m·n|2≤|m|2·|n|2， ∴()＋＋)2≤48， ∴＋＋≤4. 1．设a，b，x，y都是正数，且x＋y＝a＋b，求证：＋≥. [证明]　∵a，b，x，y都大于0， 且x＋y＝a＋b. 由柯西不等式，知[(a＋x)＋(b＋y)] ≥2＝(a＋b)2. 又a＋x＋b＋y＝2(a＋b)>0， 所以＋≥. 排序原理在不等式证明中的应用 应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组． 【例2】　已知a，b，c为正实数，求证：a＋b＋c≤＋＋. [自主解答]　由于不等式关于a，b，c对称， 可设a≥b≥c>0.于是a2≥b2≥c2，≥≥. 由排序不等式，得反序和≤乱序和，即 a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·， 及a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·. 以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式． 2．设a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab. [证明]　不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4， 运用排序不等式有： a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4. 又a3≥b3≥c3＞0， 且ab≥ac≥bc＞0， 所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab， 即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab. 利用柯西不等式、排序不等式求最值 有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足． 【例3】　设a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值． [自主解答]　由于a，b，c为正实数，根据柯西不等式，知 (a＋2b＋3c)＝[()2＋()2＋ ()2] ≥＝(＋＋)2， ∴(＋＋)2≤， 即＋＋≤， 当且仅当＝＝时取等号． 又a＋2b＋3c＝13，∴当a＝9，b＝，c＝时， ＋＋取得最大值为. 3．已知实数a，b，c，d，e满足a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16.求a＋b＋c＋d＋e的最大值． [解]　a＋b＋c＋d＋e＝ ≤ ≤＝4， 所以a＋b＋c＋d＋e的最大值是4. 1．已知关于x的不等式|x＋a|<b的解集为{x|2<x<4}． (1)求实数a，b的值； (2)求＋的最大值． [解]　(1)由|x＋a|<b，得－b－a<x<b－a， 则解得 (2)＋＝＋ ≤＝2＝4， 当且仅当＝，即t＝1时等号成立， 故(＋)max＝4. 2．已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4. (1)求a＋b＋c的值； (2)求a2＋b2＋c2的最小值． [解]　(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c， 当且仅当－a≤x≤b时，等号成立． 又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b， 所以f(x)的最小值为a＋b＋c. 又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4. (2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得 (4＋9＋1)≥＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥. 当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，故a2＋b2＋c2的最小值是. $