3.1柯西不等式（一）-湖北省通山县第一中学高中数学选修4-5导学案（无答案）

3．1　柯西不等式（一） 【学习目标】 1、认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。 2、通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题。 【重点难点】柯西不等式的简单应用 一、自主学习 要点1：二维形式的柯西不等式 (1)定义：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ ，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 要点2：(2)二维形式的柯西不等式的一些变式 变式1: ≥|ac＋bd|(当且仅当ad＝bc时，等号成立) · 变式2：(a＋b)(c＋d)≥()2.(a，b，c，d∈R＋，当且仅当ad＝bc时，等号成立) ＋ 变式3: ≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时，等号成立) · 要点3．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 要点4．(1)二维形式的三角不等式 设x1，y1，x2，y2∈R，那么. ≥ ＋ （2）．设平面上三点坐标为A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)，则，其几何意义为：|AB|＋|BC|≥|AC|. ≥＋ （3）．设α，β，γ为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|，等号成立的充要条件为α－β＝λ(β－γ)(λ＞0)． 二、合作，探究，展示，点评 题型一　利用柯西不等式证明不等式 【例1】 已知3x2＋2y2＝6，求证：2x＋y≤. 【变式1】 已知x，y，a，b∈R＋，且)2. ＋＝1，求证x＋y≥(＋ 【变式2】设：a,b∈ ，a+b=1，求证 【例2】 已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)·≥(a1＋a2)2. 【变式2】 利用柯西不等式证明：2. ≥ 题型二　利用柯西不等式求函数的最值 【例3】 求函数y＝5的最大值． ＋ 三、知识小结 《柯西不等式一》课时作业 一、选择题 1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是 (　　)． A．[－2] ，2] B．[－2，2 C．[－] ，] D．[－， 2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是 (　　)． A. B．1 C．3 D．9 3．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为 (　　)． A．4 B．2 C．1 D. 4．设a、b∈R＋，且a≠b，P＝，Q＝a