《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学必修1第二章 基本初等函数Ⅰ导学案（共16个课时）

数学人教A必修1第二章2．1.2　指数函数及其性质第1课时 1．理解指数函数的概念，能画出指数函数图象的草图，会判断指数函数． 2．初步掌握指数函数的性质，并能解决与指数函数有关的问题． 1．指数函数的定义 一般地，函数y＝______(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是______． 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x； (3)系数：ax的系数是1. 【做一做1】 已知f(x)＝9x，则f等于(　　)． A. B．2 C．3 D．9 2．指数函数的图象和性质[来源:学+科+网Z+X+X+K] 指数函数的图象和性质如下表所示： a＞1 0＜a＜1 图象 性[来源:学科网] 质[来源:学科网] 定义域 ______[来源:Z&xx&k.Com] 值域 ______ 过定点 过定点______，即x＝0时，y＝1 单调性 在R上是______ 在R上是______ 奇偶性 非奇非偶函数 指数函数的性质可用如下口诀来记忆： 指数增减要看清，抓住底数不放松； 反正底数大于0，不等于1已表明； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(0,1)点． 【做一做2－1】 y＝x的图象可能是(　　)． 【做一做2－2】 y＝()x的值域是(　　)． A．R B．[0，＋) C．(－，0) D．(0，＋) 【做一做2－3】 函数y＝(a－2)x在R上是增函数，则实数a的取值范围是__________． 答案：1．ax　自变量 【做一做1】 C　f ＝＝＝3. 2．R　(0，＋∞)　(0,1)　增函数　减函数 【做一做2－1】 C 【做一做2－2】 D 【做一做2－3】 (3，＋∞)　由a－2＞1，得a＞3. 1．对指数函数中底数取值范围的理解 剖析：①若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如(－2)x，当x＝时无意义． ②若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义． ③若a＝1，则对于任何xR，ax是一个常量1，没有研究的必要性． 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1，这样对于任何xR，ax都有意义． 2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)中底数a对函数图象的影响 剖析：设y＝f(x)＝ax，则f(1)＝a，即直线x＝1与指数函数f(x)＝ax图象交点的纵坐标是底数a.如图(1)所示． (1) 　 (2) 指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象如图(2)所示，则有a＞b＞1＞c＞d＞0.从图中可以看出：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小． 指数函数y＝ax与y＝x(或y＝a－x)的图象关于y轴对称． 题型一 判断指数函数 【例1】 下列函数中，哪些是指数函数？ (1)y＝(－8)x；(2)y＝ ；(3)y＝(2a－1)x；(4)y＝2·3x.，且a≠1 分析：依据指数函数解析式满足的三个特征来判断． 反思：判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构，其具备的特点如下： 题型二 求定义域、值域 【例2】 求下列函数的定义域与值域． (1) ；(2) . 分析：由于指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，在定义域内可利用指数函数的单调性来求值域． 反思：对于y＝af(x)(a＞0，且a≠1)这类函数： (1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围； (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域． 题型三 定点问题 【例3】 若函数f(x)＝ax－1＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，试求点P的坐标． 分析：利用指数函数y＝ax的图象过定点(0,1)来确定． 反思：函数f(x)＝kag(x)＋b(k，a，b均为常数，且k≠0，a＞0，且a≠1)．若g(m)＝0，则f(x)的图象过定点(m，k＋b)． 题型四 易混易错题 易错点　利用换元法时，忽视中间变量的取值范围 【例4】 求函数y＝x＋1的值域． x＋ 反思：求形如f(ax)的函数的值域时，常利用换元法，设ax＝t，根据f(ax)的定义域求得t的范围，再转化为求f(t)的值域． 答案：【