第2章 2.1 函数概念-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(北师大版)

§2　函数 2.1　函数概念 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点) 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域与值域．(难点) 1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2．借助函数的定义域与值域的求解，培养数学运算素养． 函数的概念 定义 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数． 三要素 对应关系 y＝f，x∈A 定义域 自变量x的取值范围A 值域 与x值对应的y值的集合 思考：若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数一定是相同函数吗？ 提示：不一定．如y＝x，x∈，但它们不是相同函数．当且仅当两个函数的定义域与对应关系都分别相同时，这两个函数是同一函数．，值域也都是区间的定义域都是区间和y＝x2，x∈ 1．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)的值是(　　) A．π2　　　　B．π　　　　C．　　　　D．不确定 B　[由函数解析式可知该函数为常数函数，因此自变量取任意实数时函数值不变，均为π，故f(π2)＝π.] 2．函数y＝f的图象与直线x＝1的公共点的个数为(　　)的定义域是R，则在同一坐标系中y＝f A．0 B．1 C．2 D．0或1 B　[由于1∈R，所以由函数的定义知：在值域中有唯一的像与之对应，故选B.] 3．函数y＝的定义域________，值域是______． [答案]　　 4．已知函数f.＝ (1)求f(2)； (2)若f(m)＝2，求m的值． [解]　(1)f.＝＝ (2)由f＝2，解得m＝－3.＝2，得 函数的概念 【例1】　判断下列对应是否为集合A到集合B的函数． (1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0. [思路点拨]　 依据函数的定义来判断． [解]　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． (2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数． (3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数． (4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 1．判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断： (1)A，B必须是非空数集； (2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应； (3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一． 2．在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相同．值域相同，只是前两个要素相同的必然结果． 1．下列各组函数是同一函数的是(　　) ①f(x)＝；与g(x)＝x ②f(x)＝x与g(x)＝； ③f(x)＝x0与g(x)＝； ④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1. A．①②　　　B．①③　　　C．③④　　　D．①④ C　[①f(x)＝－x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；，g(x)＝x ②f(x)＝x，g(x)＝＝|x|，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数； ③f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数； ④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数．] 求函数值 【例2】　已知f(x)＝(x≠－1). (1)求f(0)及f的值； (2)求f(1－x)及f(f(x)). [思路点拨]　先把自变量的值代入到函数的解析式中，再按解析式指明的运算进行运算．对于型如f(f(x))的求值，可由里向外，分层计算． [解]　(1)f(0)＝＝1. ∵f， ＝＝ ∴f.＝＝＝f (2)f(1－x)＝(x≠2).＝ f(f(x))＝f＝x(x≠－1).＝ 求函数值的方法 (1)已知f.的表达式时，只需用a代替表达式中的x，即得f (2)求f的函数值应遵循由里向外的原则． 2．已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(2))的值； (3)求f. [解]　(1)f(2)＝，g(2)＝22＋2＝6.＝ (2)f(g(2))＝f(6)＝.＝ (3)g(a－1)＝(a－1)2＋2＝a2－2a＋3. f.＝＝＝f 求函数