第2章 3.2 函数的最大(小)值-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(北师大版)

第2课时　函数的最大(小)值 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点) 2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点) 3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点) 4．通过本节内容的学习，体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力．(重点、难点) 1.借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养． 2．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养． 函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？ 提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任何函数都有最大(小)值． (　　) (2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b)). (　　) (3)函数的最大值一定比最小值大． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A.－1，0　　 B．0，2 C．－1，2 D．，2 C　[由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.] 3．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　) A．有最大值　　 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 D　[∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)<f(0)＝－1，故选D.] 4．函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为_______，最小值为______． 在区间[2，6]上为减函数， 　[∵f(x)＝　 ∴f(6)≤f(x)≤f(2)，即.]≤f(x)≤ 利用函数的图象求函数的最值(值域) 【例1】　已知函数f(x)＝ (1)在直角坐标系内画出f(x)的图象； (2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． [解]　(1)图象如图所示： (2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(2，5)，单调递减区间为(0，2)，值域为[－1，3]. 利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值． 1．已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值． [解]　作出函数f(x)的图象(如图). 由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 利用函数的单调性求最值(值域) 【例2】　已知函数f(x)＝. (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值． [解]　(1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝， ＝－ 因为－1<x1<x2⇒x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(2)＝， ＝ 最大值f(4)＝.＝ 1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 提醒：(1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意． 2．求函数f(x)＝x＋在[1，4]上的最值． [解]　设1≤x1<x2<2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋.＝＝(x1－x2)＝(x1－x2)·＝x1－x2＋－x2－ ∵1≤x1<x2