1.1 第2课时 验证勾股定理-2021-2022学年八年级上册初二数学【名校培优课堂】同步教学课件（北师大版）

1.1 探索勾股定理 第一章 勾股定理 第2课时 验证勾股定理 1.学会用几种方法验证勾股定理．（重点） 2.能够运用勾股定理解决简单问题．（重点，难点） 学习目标 观察与思考 活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形． 有不同的拼法吗？ * 据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？ 问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢 ？ 双击图标 一、勾股定理的验证 * 方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理． 验证方法一：毕达哥拉斯证法 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . (a+b)2 c2 +4• ab ∵ (a+b)2 = c2 + 4• ab a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴ a2+b2=c2 a a a a b b b b c c c c * c 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . ∵ c2= 4• ab +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴ a2+b2=c2 c2 4• ab+(b- a)2 c a b c a b 验证方法二：赵爽弦图 c a b 如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得 化简,得 b c a b c a A B C D 验证方法三：美国总统证法 a b c 青入 青方 青 出 青出 青入 朱入 朱方 朱出 青朱出入图 课外链接 c 达·芬奇对勾股定理的证明 a b A B C D E F O Ⅰ Ⅱ A a B C b D E F O Ⅰ Ⅱ A′ B′ C′ D′ E′ F′ 如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形BDLM等积，同理正方形ACKH与 矩形MLEC也等积，于是推得 欧几里得证明勾股定理 推荐书目 议一议 观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2. 例1：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 公路 B C A 400m 500m 解:由勾股定理，得AB2=BC2+AC2， 即 5002=BC2+4002， 所以，BC=300. 敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m） 即它行驶的速度为108km/h. 二、勾股定理的简单应用 * 练一练 1.湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为（ ) A.50米 B.120米 C.100米 D.130米 130 120 ? A A B C A B C 2.如图,太阳能热水器的支架AB长为90 cm,与AB垂直的BC长为120 cm.太阳能真空管AC有多长? 解：在Rt△ABC中,由勾股定理, 得 AC2=AB2+BC2， AC2=902+1202， AC=150(cm). 答:太阳能真空管AC长150 cm. 例2：如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1、B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离和． 解：作点B关于MN的对称 点B′，连接AB′，交A1B1于 P点，连BP. 则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′， 易知P点即为到点A，B距离之和最短的点． 过点A作AE⊥BB′于点E， 则AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)． 由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62， ∴AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km， 故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km. 变式：如图，在一条公路上有A、B两站相距25km，C、D为两个小镇，已知DA⊥AB,CB ⊥AB, DA=15km,CB= 10km，现在要在公路边上建设一个加油站E，使得它到两镇的距离相等，请问E站应建在距A站多远处? 15 10 25-x D A E B C 1.在直角三角形