1.1.1 探索勾股定理 课件 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

1.1.1 探索勾股定理 课前提问（1分钟） 直角三角形的性质： 解：直角三角形的性质： （1）有一个角是直角 （2）两锐角互余 a b c C B A 掌握直角三角形三边之间的关系： 勾股定理，并会用符号表示. 2.用数格子与割补等办法探索勾股定理，并体会数形结合的思想. 学习目标 （1分钟) 自学指导一：（8分钟） 自学课本P2-3页，至“做一做”结束，完成下列问题： 1.在图1-1中，要想求钢索的长度，你需要求哪些线段的长度？运用以前的知识能解决么？ 2.解决“做一做”中的三个问题。 3.在“做一做”的（2）中，你是如何求每一个正方形的面积的？ A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1-1 图1-2 （1）观察图1-1 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积。 正方形B的面积是 个单位面积。 正方形C的面积是 个单位面积。 9 9 9 18 你是怎样得到上面的结果的？ 直接数格子 有没有其他方法？ =4×3×3× =18 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1-1 图1-2 （单位面积） 把它先“分割” 成若干直角边为整数的小直角三角形,再计算。 方法一：分割法 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1-1 图1-2 =18（单位面积） =62-4×3×3× 方法二：添补法 在正方形C外面“补” 成一个边长为6的正方形，再用大正方形面积减去四个小直角三角形的面积。 方法二: “割” 分割为四个直角三角形和一个小正方形 方法三: “补” 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积 方法一: 直接数格子 总结方法 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1-1 图1-2 （2）在图1-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ （3）你能发现图两图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积 4 4 8 A B C 图1-3 A B C 图1-4 （1）观察图1-3、图1-4，并填写右表： A的面积 （单位面积） B的面积 （单位面积） C的面积 （单位面积） 图1-3 图1-4 16 9 25 4 9 13 做一做 A B C 图1-3 A B C 图1-4 =4××3×4＋1 =25 =4××2×3＋1 =13 SA+SB=SC 点拨: 1、(P3随堂练习1)求下图中字母所代表的正方形的面积 81 225 B 225 400 A ∟ ∟ 625 144 2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝16，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　） A．16 B．32 C．160 D．256 D 3、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积和是9，则正方形D的边长　 　。 3 自学检测一（2分钟） 自学课本P3至“想一想”上面的内容，思考完成下列问题： 1.直角三角形中三边之间有什么数量关系？ 2.直角三角形中的勾、股、弦分别指哪条边？ 3.掌握勾股定理。 4.解决“想一想”。 自学指导二：（3分钟） 　如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理： a b c a2+b2=c2 B A C 注意：字母对应关系 应用格式： 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2 （或c2=a2+b2) 几何语言： 例：如图，△ABC中，∠C= 90°，AC=6，BC=8，求AB A B C 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90° 由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=62+82=100 ∴AB=10 a b c ∵在Rt△ABC中，∠C=90° ∴由勾股定理，得AC2+BC2=AB2 或 += 1.下列说法正确的是（ ） A.若a、b、c是△ABC的三边，则 B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则 C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°,则 D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C=90°,则 a2+b2=c2 自学检测二：（10分钟） D a2+b2=c2 a2+b2=c2 a2+b2=c2 2.在Rt△ABC中，∠C=90°， （1）如果a=3,b=4, 则c=_______; （2）如果b=6,c=10, 则a=______; （3）如果a=1.5,c=2.5,则b=______. 5 8 2 变式：一个直角三角形的三边分别为3，4，x，则 x2 = 。 25或7 3、若一个直角三角形的两直角边长分别是6、8，则第三边长为　 ． 10 变式:已知一个直角三角形的两条边长分别为5、12，那么第三条边的长的平方是　 　． 119或169 4.在△ABC中，∠C=90°，其中a:b=3:4,且c=10，求△ABC的面积。 5.在直角三角形ABC中，已知其两边长为3、5，试求以第三边为边长的正方形的面积。 ①斜边是5，有一条直角边是3，由勾股定理得： 以第三边为边长的正方形面积为：5²-3²=16 ②3和5都是直角边，由勾股定理得： 以第三边为边长的正方形面积为：3²+5²=34 解：设a=3x，b=4x 在Rt△ABC中，∠C=90° 由勾股定理，得 a²+b²=c² 即(3x)+(4x)=10² 解得x=2 解：分为两种情况： 综上所述，以第三边为边长的正方形面积为16或34. ∴a=6，b=8 ∴=×6×8=24 1、你能准确理解勾股定理吗？ 在R t △ABC中，若∠C＝90°，三边分别为a、b、c，则___________。 2、能正确运用勾股定理进行直角三角形的有关边的计算吗？ a2+b2=c2 小结：（1分钟） 小结：（1分钟） 勾股定理 几何语言： ∵在Rt△ABC，∠C=90°（前提） ∴由勾股定理，得 a2+b2=c2 （c为斜边） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 A B C a b c 2.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的能值有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 当堂训练：(15分钟） 1、如图所示,是一段楼梯,高BC=3米,斜边AB是5米,如果在楼梯上铺地毯,那么地毯至少需要( )米 A、5 B、6 C、7 D、8 A C B C B 3.如图所示，从电线杆离地8米A处向地面B处拉一条长10米的缆绳，如果从电线杆离地6米C处同样拉一条10米长的缆绳，这条缆绳在地面的固定点D距离B点的距离有多远？ E B D A C 解：依题意，得 AE=8米，AB=10米 CE=6米，CD=10米 ∵在Rt△ABE中，∠AEB=90° 由勾股定理，得 BE2=AB2-AE2 =102-82=36 ∴BE=6米 ∵在Rt△CDE中，∠CED=90° 由勾股定理，得 DE2=CD2-CE2 =102-62=64 ∴DE=8米 ∴BD=DE-BD=8-6=2米 ∴这条缆绳在地面的固定点D距离B点的距离有2米。 3.如图所示，从电线杆离地8米A处向地面B处拉一条长10米的缆绳，如果从电线杆离地6米C处同样拉一条10米长的缆绳，这条缆绳在地面的固定点D距离B点的距离有多远？ E B D A C 4.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 15 cm 17 cm 64 cm² 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=16，AB=20，以AC为直径作半圆，则此半圆的面积为_________. （结果保留π） 18π 6.已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm²，则斜边长为_________. 30cm 第4题 第5题 7.如图,已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　 　． 第7题 6 8.如图，求等腰三角形ABC的面积 （课本P4习题1.1的问题解决） 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D ∵AC=BC，CD⊥AB ∴AD=BD=AB=3cm ∵在Rt△BCD中,∠BDC=90°,BC=5cm ∴CD²=BC²-BD²=5²-3²=25-9=16 ∴CD=4cm ∴=AB×CD=×6×4=12(cm²) ∴等腰三角形ABC的面积为12cm². D 9.如图所示，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，CD⊥AB于点D，求CD的长． 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90° 由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=32+42=25 ∴AB=5cm ∵∠ACB=90°，CD⊥AB 又∵S△ABC = AB·CD = BC·AC， ∴×5×CD = ×4×3 ∴CD=2.4cm 变式：如图，△ABD中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知BC＝9，AB＝17，AC＝10，求AD的长． 解：设CD＝x，在Rt△ACD中，AD2＝102－x2 在Rt△ABD中，∠ADB=90° 由勾股定理，得 AD2＝172－(x＋9)2， 即102－x2＝172－(x＋9)2 解得x＝6 ∴AD2＝102－62＝64 ∴AD＝8 1.如图，已知长方形ABCD中AB=8cm, BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长. 选做题： 解：依题意，得 Rt△ADE≌Rt△AFE ∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE 设CE=x cm，则DE=EF=CD-CE=(8-x)cm 在Rt△ABF中，由勾股定理，得 AB²+BF²=AF²，即8²+BF²=10² ∴BF=6cm ∴CF=BC-BF=10-6=4(cm) 在Rt△ECF中，由勾股定理，得 EF²=CE²+CF²，即(8-x)²=x²+4²，解得x=3 ∴CE=3cm 2.如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么C′D长为 ． 3cm 3.在△ABC中，AB=20，AC=15，AD为BC边上的高，且AD=12，求△ABC的周长. 提示：分类讨论， 第一类：高AD在三角形内部 第二类：高AD在三角形外部 解：①当高AD在△ABC内部时，如图① 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 BD²=AB²-AD²=20²-12²=256，∴BD=16 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 CD²=AC²-AD²=15²-12²=81，∴CD=9 ∴BC=BD+CD=16+9=25 ∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=20+25+15=60 ②当高AD在△ABC外部时，如图② 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 BD²=AB²-AD²=20²-12²=256，∴BD=16 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 CD²=AC²-AD²=15²-12²=81，∴CD=9 ∴BC=BD-CD=16-9=7 ∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=20+7+15=42 综上所述，△ABC的周长为60或42. 板书设计 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2. a b c $$