1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 （基础知识+基本题型） 知识点一、用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则。 要点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。 （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有。 （3）求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°。 若分别为面，的法向量， 则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。 ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。 ②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。 知识点二、 用向量方法求空间距离 1. 求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量。 2. 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 考点一 用空间向量求空间角 1.线面所成的角 例1 如图3.2-10，底面为等边三角形的直三棱柱的底面边长为，侧棱长为，求与侧面所成角的正弦值． A B C O M x y z A1 B1 C1 O1 图3.2-10 解：取的中点，的中点，连接，，则，平面． 以坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图3.2-10所示的空间直角坐标系， 则，． 所以．取的中点，连接，则． 因为平面平面，所以平面．所以为平面的一个法向量． 因为，所以．又因为，所以． 所以，故与侧面所成角的正弦值为． 求直线与平面的夹角的方法 （1）几何法． A P O 找直线在平面内的射影，如图3.2-11，，则． （2）向量法，其基本步骤为： ①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量； ③求平面的法向量； ④计算：设线面角为，则；⑤由，求． 2. 求二面角 例2 已知四棱锥底面为直角梯形，，，底面，且，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求与所成角的余弦值； （3）求二面角的余弦值． （1）证明：以为坐标原点，建立如图3.2-12所示的空间直角坐标系 则各点为，，，，，． 所以，．因为，所以，即． 由题设，知，因为，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． （2）解：由（1），知，，所以，，． 所以． 故与所成角的余弦值为． （3）方法1：如图3.2-12，在上取一点，则存在，使，连接，． ，，所以，，． ① 要使，只需，即． ② 联立①②，得． 可知当时，点的坐标为，能使， 此时，，，所以． 由，，得，． 从而可知为所求二面角的平面角． 因为，，，所以． 故所求二面角的余弦值为． 方法2：，，，． 设平面的法向量为， 则由，得． 令，则，．故．同理可求得平面的法向量． 设二面角的平面角大小为，则． 故所求二面角的余弦值为． 用向量法求二面角的步骤： （1）寻求平面，的法向量，； （2）利用公式，求出法向量，的夹角； （3）根据，的方向，确定平面，所构成的二面角的大小： ①当，的方向如图3.2-13①所示时，；②当，的方向如图3.2-13②所示时，． 考点二 利用空间向量求点到平面的距离 例3 已知正方体的棱长为，，，分别是，，的中点，求点到平面的距离． 解：建立如图3.2-14所示的空间直角坐标系，则，，，． 所以，，． F E A B C D z A1 C1 x y B1 D1 G 图3.2-14 设是平面的法向量，点到平面的距离为， 则，所以，所以． 令，此时，所以，即点到平面的距离为． （1）用向量法求点面距离的方法与步骤： 建系 求点 坐标 求向量 求距离 建立恰当的空间直角坐标系 写出（求出）相关点的坐标 求出相关向量的坐标（平面的法向量，如图3.2-15） A O P 图3.2-15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $