1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题

（基础知识+基本题型）

知识点一、用向量方法求空间角

（1）求异面直线所成的角

已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，

则。

要点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。

（2）求直线和平面所成的角

设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，

则有。

（3）求二面角

如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°。

若分别为面，的法向量，

则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。

①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。

②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。

知识点二、  用向量方法求空间距离

1. 求点面距的一般步骤：

①求出该平面的一个法向量；

②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。

即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量。

2. 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。

直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

考点一  用空间向量求空间角

1.线面所成的角

例1  如图3.2-10，底面为等边三角形的直三棱柱的底面边长为，侧棱长为，求与侧面所成角的正弦值．

解：取的中点，的中点，连接，，则，平面．

以坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图3.2-10所示的空间直角坐标系，

则，．

所以．取的中点，连接，则．

因为平面平面，所以平面．所以为平面的一个法向量．

因为，所以．又因为，所以．

所以，故与侧面所成角的正弦值为．

求直线与平面的夹角的方法

（1）几何法．

找直线在平面内的射影，如图3.2-11，，则．

（2）向量法，其基本步骤为：

①建立空间直角坐标系；

②求直线的方向向量；

③求平面的法向量；

④计算：设线面角为，则；⑤由，求．

2. 求二面角

例2 已知四棱锥底面为直角梯形，，，底面，且，，是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求与所成角的余弦值；

（3）求二面角的余弦值．

（1）证明：以为坐标原点，建立如图3.2-12所示的空间直角坐标系

则各点为，，，，，．

所以，．因为，所以，即．

由题设，知，因为，所以平面．

又因为平面，所以平面平面．

（2）解：由（1），知，，所以，，．

所以．