1.3空间向量及其运算的坐标表示（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3空间向量及其运算的坐标表示 （基础知识+基本题型） 知识点一 空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示: 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 对于空间向量的坐标运算，可对比平面向量的坐标运算并加以理解，两者之间具有一定的联系，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的．只是表达形式不同而已． 知识点二 空间向量的平行与垂直的坐标表示 平行（） 垂直（） (均为非零向量) 警示 在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成．例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了． 知识点三 空间向量长度、夹角公式的坐标表示 1．空间向量长度公式的坐标表示 (1) 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 (2)空间两点间的距离公式 已知，则 2．空间向量夹角公式的坐标表示 设，则 考点一 空间向量的坐标运算 例1：已知，求， 解: ； 考点二 空间向量的平行与垂直问题 例2 如图3．1-54，在棱长为的正方体中，以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，过点作于点，求点的坐标． 解:设，由题意，知 则 因为，所以． 所以，即① 又因为 所以 即． （1）利用向量的坐标运算解决立体几何中的垂直问题，关健是建立正确、恰当的空间直角坐标系，进而通过空间向量的分解方法准确地写出所求各点的坐标． （2）用向量的坐标运算证明垂直问题，把几何问题转化为代数计算，这是数学中化归思想的具体体现，如证明直线，可转化为证明，由向量的坐标运算即可完成． 例3 已知向量． (1)判断的位置关系； (2)若，求； (3)若，求在方向上的投影． 解:(1)因为，所以，所以 (2)因为，所以，解得 所以，从而 (3)因为，所以，即，解得 所以． 所以在方向上的投影为 已知两向量平行，利用向量运算的坐标表示可得到方程(组)，进而求出参数的值，这是已知两向量平行求参数问题的常用方法．解题过程中要注意合理考坐标形式下的向量运算法则． 考点三 用坐标法解决立体几何问题 例4 在正方体中，已知分别是和的中点．求证: (1) ； (2) 平面． 证明:如图3．1-55，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则 由中点性质，得 (1) 因为 所以，即 (2) 因为 所以 又因为，所以平面 运用坐标法解决立体几何问题的解题步骤如下： 建系：根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系 定坐标：确定点的坐标，进而求出有关向量的坐标 向量运算：进行相关的空间向量的运算 翻译：将向量语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的证明或求解 得结论：得出最终结论 考点四 空间中有关夹角和距离(长度)的问题 例5 如图3．1-56，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在棱上，且，是的中点．利用空间向量解决下列问题: (1)求与所成的角； (2)求与所成角的余弦值； (3)求两点间的距离． 分析：结合正方体的特点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，然后把所求的线线角转化为向量的夹角，利用数量积的性质解决第(1)(2)问；第(3)问求两点间的距离可转化为求向量的模． 解:如图3．1-56，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则 (1)因为 所以，所以，故 即与所成的角为 (2)因为，所以 因为，且 所以 即与所成角的余弦值为 (3)因为是的中点，所以 又因为，所以 即两点之间的距离为. 利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的解题步骤: (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； (2)利用题设条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角.并将它转化为异面直线所成的角.要注意分析两角是否一致，若异面直线所成角为，则．. 例6 如图3.1-57，在长方体中，，是的中点.建立适当的空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题: (1)求直线与所成角的余弦值； (2)作于点，求点到点的距离． 解:建立如图3.1-58所示的空间直角坐标系. (1)由题意，得. 因为，所以 故直线与所成角的余弦值为 (2)由题意，得. 设.因为，所以， 所以，解得， 所以，所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $