1.3空间向量及其运算的坐标表示（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3空间向量及其运算的坐标表示

（基础知识+基本题型）

知识点一  空间向量运算的坐标表示

设，空间向量的坐标运算法则如下表所示:

运算	坐标表示
加法
减法
数乘
数量积

对于空间向量的坐标运算，可对比平面向量的坐标运算并加以理解，两者之间具有一定的联系，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的．只是表达形式不同而已．

知识点二  空间向量的平行与垂直的坐标表示

平行（）
垂直（）	(均为非零向量)

警示 在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成．例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了．

知识点三  空间向量长度、夹角公式的坐标表示

1．空间向量长度公式的坐标表示

(1) 若，则，即

空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度

(2)空间两点间的距离公式

已知，则

2．空间向量夹角公式的坐标表示

设，则

考点一  空间向量的坐标运算

例1：已知，求，

解: ；

考点二  空间向量的平行与垂直问题

例2 如图3．1-54，在棱长为的正方体中，以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，过点作于点，求点的坐标．

解:设，由题意，知

则

因为，所以．

所以，即①

又因为

所以

即．

（1）利用向量的坐标运算解决立体几何中的垂直问题，关健是建立正确、恰当的空间直角坐标系，进而通过空间向量的分解方法准确地写出所求各点的坐标．

（2）用向量的坐标运算证明垂直问题，把几何问题转化为代数计算，这是数学中化归思想的具体体现，如证明直线，可转化为证明，由向量的坐标运算即可完成．

例3 已知向量．

(1)判断的位置关系；   (2)若，求；    (3)若，求在方向上的投影．

解:(1)因为，所以，所以

(2)因为，所以，解得

所以，从而

(3)因为，所以，即，解得

所以．

所以在方向上的投影为

已知两向量平行，利用向量运算的坐标表示可得到方程(组)，进而求出参数的值，这是已知两向量平行求参数问题的常用方法．解题过程中要注意合理考坐标形式下的向量运算法则．

考点三  用坐标法解决立体几何问题

例4 在正方体中，已知分别是和的中点．求证:

(1) ； (2) 平面．

证明:如图3．1-55，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系．

设正方体的棱长为1，则

由中点性质，得