1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（同步练习）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 一、单选题 1．在正方体中，二面角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．已知在正四面体ABCD中，点E是CD上靠近C点的三等分点，点F是边AC的一动点，若EF与面BCD所成角的最大角为，则为（ ） A． B． C． D． 5．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（ ） A．2 B． C．2 D． 6．设平面与平面的夹角为，若平面的法向量分别为，则( ) A． B． C． D． 二、多选题 7．正方体中，下列叙述正确的有（　　） A．直线与所成角为 B．直线与所成角为 C．直线与平面所成角为 D．直线与平面所成角为 8．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点在线段上，，交于点，则下列结论正确的是（ ） A．若平面，则为的中点 B．若为的中点，则三棱锥的体积为 C．锐二面角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的余弦值为 三、填空题 9．已知异面直线a，b的方向向量分别为，，则a，b所成角的余弦值为________. 10．如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________． 四、解答题 11．如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为l （1）证明：平面； （2）已知为上的点，且如图所示，求与平面所成角的正弦值． 12．如图，在四棱锥中，平面，，，，为中点，______， 从①；②平面这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答； （1）求证：四边形是直角梯形， （2）求直线与平面所成角的正弦值. 13．已知四棱锥，底面为菱形，，侧面为等边三角形且垂直于底面． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 14．如图，在直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面. （1）求点到平面的距离； （2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 参考答案 1．C 【分析】 如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可 【详解】 解：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，令，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， 所以， 故选：C 2．D 【分析】 以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】 由题意可得，， 以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，，， 因此异面直线与所成角的余弦值等于. 故选：D. 3．A 【分析】 建立空间直角坐标系，写出，的坐标，由夹角公式可得结果. 【详解】 如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为． 故选：A. 4．D 【分析】 将正四面体放入一个正方体中，且建立如图所示空间直角坐标系，求得平面BCD的一个法向量，设，表示出，由可求得最大值. 【详解】 如图所示，将正四面体放入一个正方体中，且建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为3， 则， 则，，，， 设，则， 设平面BCD的一个法向量为， 则，即，令，则，即， 则， 当时，， 当时，，则当，即时，取得最大值，此时最大，且. 故选：D. 【点睛】 关键点睛：本题考查线面角问题，解题的关键是将正四面体放入一个正方体中，利用向量关系表示出. 5．D 【分析】 先作出P到AB的距离PE,再解三角形求出PE. 【详解】 因为ABCD为正方形，所以AD⊥DC. 由⇒∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，即∠PDC＝60°. 如图所示，过P作PH⊥DC于H. ∵,∴AD⊥面PDC.,∴AD⊥面PH. 又PH⊥DC, ,∴PH⊥面ABCD, 在平面AC内过H作HE⊥AB于E，连接PE，则PE⊥AB， 所以线段PE即为所求． 以H为坐标原点建立空间直角坐标系， 则 所以,∴ 故选:D. 【点睛】 方法点睛： 距离的计算方法有两类： （1）几何法：利用几何图形求值； （2）向量法：把距离用向量表示出来，转化为代数计算. 6．B 【分析】 两个平面的夹角与其法向量的夹角相等或者互补，结合向量夹角数量积公式而得. 【详解】 由题意，， 因平面与平面的夹角与其法向量的夹角相等或互补， 所以. 故选：B 7．AB