1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（同步课件）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

人教A版2019 选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 A P Q l 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等如何用空间向量解决这些距离问题呢？下面我们先研究用向量方法求直线外一点P到直线l的距离． A P Q l 思考 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ A P Q l A C B D y x z A1 B1 C1 D1 E F 图1.4-18 分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离． A C B D y x z A1 B1 C1 D1 E F 图1.4-18 A C B D y x z A1 B1 C1 D1 E F 图1.4-18 与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． A B C D M N 与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量．下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角，先看下列问题． 例7 如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中， M， N分别为BC， AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值． A B C D M N 解：化为向量问题 A B C D M N 进行向量运算 A B C D M N 回到图形问题 思考 以上我们用量方法解决了异面直线AM和CN所成角的问题，你能用向量方法求直线AB与平面BCD所成的角吗？ A B C 图1.4-20 A B C C1 A1 B1 x y z P Q R A B C C1 A1 B1 x y z P Q R 解：化为向量问题 A B C C1 A1 B1 x y z P Q R 进行向量运算 A B C C1 A1 B1 x y z P Q R 回到图形问题 图1.4-24 例9 图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量． 图1.4-24 A B C D E F G P z x y 分析： 本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题． A B C D E F G P z x y A B C D E F G P z x y A B C D E F G P z x y 用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系 把运算结果“翻译”成相应的几何意义 通过本节的学习，你对立体几何中的向量法是否有了一定的认识？请结合例题就下面的框图谈谈体会． 解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法．你能说出它们各自的特点吗？ 综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题，如本节的例7、例9；坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使用，如本节的例6，例8，例10．对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法． $