1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4 空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 1 学习目标 自主学习 一．空间距离的向量求法 自主学习 自主学习 二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解． 自主学习 自主学习 图（1）直线与平面所成角 图（2）平面与平面所成角 自主学习 小试牛刀 √ × × × 题型一 利用空间向量求距离 经典例题 角度1：点线距 10 经典例题 题型一 利用空间向量求距离 11 角度2：点面距 经典例题 题型一 利用空间向量求距离 经典例题 题型一 利用空间向量求距离 13 经典例题 角度3：线面距 题型一 利用空间向量求距离 14 经典例题 题型一 利用空间向量求距离 15 经典例题 角度4：面面距 题型一 利用空间向量求距离 16 经典例题 题型一 利用空间向量求距离 17 题型二 利用空间向量求夹角 经典例题 角度1：线线角 18 经典例题 题型二 利用空间向量求夹角 19 经典例题 题型二 利用空间向量求夹角 20 经典例题 角度2：线面角 若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下： 题型二 利用空间向量求夹角 21 经典例题 题型二 利用空间向量求夹角 22 经典例题 题型二 利用空间向量求夹角 23 经典例题 题型二 利用空间向量求夹角 24 经典例题 题型二 利用空间向量求夹角 25 经典例题 角度3：面面角 题型二 利用空间向量求夹角 26 经典例题 题型二 利用空间向量求夹角 27 经典例题 题型二 利用空间向量求夹角 28 经典例题 题型二 利用空间向量求夹角 29 经典例题 题型二 利用空间向量求夹角 30 当堂达标 当堂达标 当堂达标 33 当堂达标 34 当堂达标 当堂达标 当堂达标 当堂达标 当堂达标 对应课后练习 课后作业 课程标准 学科素养 1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导． 2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想． 3.会用向量法求线线、线面、面面夹角． 4.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系． 1、直观想象 2、数学运算 3、逻辑推理 分类 图示 向量求法 点线距 u为直线l的单位方向向量，P∉l，A∈l，Q∈l， eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(AP,\s\up6(→)) 在直线l上的投影向量为 eq \o(AQ,\s\up6(→)) ＝(a·u)u，则PQ＝eq \r(|\a\vs4\al(\o(AP,\s\up6(→)))|2－|\a\vs4\al(\o(AQ,\s\up6(→)))|2)＝ . 线线距 转化为点线距 在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离． 点面距 设平面α的法向量为n，P∉α，A∈α， PQ⊥α， eq \o(AP,\s\up6(→)) 在直线l上的投影向量为 eq \o(AQ,\s\up6(→)) ，则P点到平面α的距离PQ＝ eq \f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|) eq \r(a2－（a·u）2) 线面距（前提是线面平行） 转化为点面距 如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． 面面距（前提是面面平行） 转化为点面距 如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 解读：异面直线a，b间的距离 求出与两条直线的方向向量都垂直的法向量n，在两条直线上分别取A和B，则在法向量n上的投影向量的长度即为异面直线a，b的距离，所以距离为 . 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v， 则cosθ＝ ＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n， 则sin θ＝ ＝ 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的