1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 课后练习-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-3同步资源（人教A版）

高中数学 “杨辉三角”与二项式系数的性质 (课后练习) 一、选择题 1．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　) A．第6项 B．第5项 C．第5,6项 D．第6,7项 2．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1024，则n的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 3．在10的展开式中，系数最大的项为(　　) A．第5项 B．第6项 C．第5项和第6项 D．第5项和第7项 4．若多项式x＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a0＋a2＋…＋a8＝(　　) A．509 B．510 C．511 D．1022 5．已知(1＋2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 二、填空题 6．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________. 7．在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1024，则中间项系数是________． 8．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝________. 三、解答题 9．已知fn(x)＝(1＋x)n. (1)若f2019(x)＝a0＋a1x＋…＋a2019x2019，求a1＋a3＋…＋a2017＋a2019的值； (2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数． 10．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． $高中数学 “杨辉三角”与二项式系数的性质 (课后练习) 一、选择题 1．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　) A．第6项 B．第5项 C．第5,6项 D．第6,7项 答案　A 解析　由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C＝C，由组合数的性质，得n＝10. ∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项． 2．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1024，则n的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 答案　B 解析　由题意知(1＋1)n(3－1)＝1024，即2n＋1＝1024，所以n＝9.故选B. 3．在10的展开式中，系数最大的项为(　　) A．第5项 B．第6项 C．第5项和第6项 D．第5项和第7项 答案　D 解析　由二项式定理知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等． 由于二项式系数的最大项为T6，且T6＝Cx55＝－C，二项式系数等于项的系数的相反数，此时T6的系数最小．而T5＝Cx64＝Cx2， T7＝Cx46＝Cx－2，且C＝C， ∴系数最大的项为第5项和第7项． 4．若多项式x＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a0＋a2＋…＋a8＝(　　) A．509 B．510 C．511 D．1022 答案　B 解析　令x＝0得0＝a0＋a1＋…＋a9＋a10.① 令x＝－2得－2＋(－2)10＝a0－a1＋a2－…－a9＋a10.② ①＋②得 210－2＝2a0＋2a2＋…＋2a10， ∴a0＋a2＋…＋a10＝29－1. 又由x10的系数为1知，a10＝1， ∴a0＋a2＋…＋a8＝29－1－1＝510. 5．已知(1＋2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 答案　B 解析　设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.分别令x＝1，x＝－1，得两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝.由已知，得＝364，∴32n＝729＝36，即n＝3.(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B. 二、填空题 6．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________. 答案　6 解析　根据二项式系数的性质知：(x＋y)2m的二项式系数最大有一项，C＝a，(x＋y)2m＋1的二项式系数最大有两项，C＝C＝b.又13a＝7b，所以13C＝7C