1.3.1 二项式定理-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-3同步资源（人教A版）

高中数学 计数原理 内容：二项式定理 知识点一　二项式定理及其相关概念 1．二项式定理 二项展开式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理，其中各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 特别地，(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn(n∈N*)． 结构特点：(1)各项的次数都等于二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；(3)共有n＋1项． 2．二项展开式的通项 (a＋b)n的二项展开式中的第k＋1项Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Can－kbk.(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*) 知识拓展 1．注意区分项的二项式系数与系数的概念 二项展开式的第r＋1项的二项式系数是C，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第r＋1项的系数则是二项式系数C与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是C，而第二项的系数则是C·24. 注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数． 2．要牢记Can－kbk是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项． 自诊小测 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　) (2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．(　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　) 2．做一做 (1)16的二项展开式中第4项是________． (2)展开4为________． (3)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________． 探究　　二项式定理的正用与逆用 例1　(1)若f(x)＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋4，则f(2019)－f(－2019)的值为________； (2)求4的展开式． 　(1)用二项式定理展开4； (2)化简1＋2C＋4C＋…＋2nC. 探究　　利用二项式定理求某些特定项 例2　已知n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数及二项式系数； (3)求展开式中所有的有理项． 　(1)若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________； (2)8的展开式中的常数项是________． 探究　　整除及余数问题 例3　(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除； (2)求9192被100除所得的余数． 　(1)求证32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除； (2)求230－3除以7的余数． 课堂小测 1．若(2x－3)n＋3的展开式中共有15项，则自然数n的值为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 2．二项式5的展开式中的常数项为(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 3．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为(　　) A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4 C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5 4．(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b等于________． 5．求(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数． $高中数学 计数原理 内容：二项式定理 知识点一　二项式定理及其相关概念 1．二项式定理 二项展开式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理，其中各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 特别地，(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn(n∈N*)． 结构特点：(1)各项的次数都等于二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；(3)共有n＋1项． 2．二项展开式的通项 (a＋b)n的二项展开式中的第k＋1项Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Can－kbk.(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*) 知识拓展 1．注意区分项的二项式系数与系数的概念 二项展开式的第r＋1项的二项式系数是C，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第r＋1项的系数则是二项式系数C与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是C，而第二项的系数则是C·24. 注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数． 2．要牢记Can－kbk是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k