1.2.2 组合的综合应用-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-3同步资源（人教A版）

高中数学 计数原理 内容：组合的综合应用 知识点一　排列与组合的联系和区别 排列与组合的共同点都是“从n个不同元素中，任取m个元素”，如果交换两个元素的位置对结果产生影响，就是排列问题；反之，如果交换两个元素的位置对结果没有影响，就是组合问题．简而言之，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． 知识点二　解排列组合综合题的思路 解决该问题的一般思路是先选后排，先组合后排列，解题时应灵活运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理．分类时，注意各类中是否分步，分步时注意各步中是否分类． 知识拓展 利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意： (1)将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法； (2)要使用分类方法，至于怎样确定分类的标准，这是一个难点，要具体问题具体分析； (3)常用间接法解决该类问题． 自诊小测 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)3个相同的小球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个球，这个问题是排列问题．(　　) (2)3个不同的小球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个球，这个问题是组合问题．(　　) (3)将9本不同的书分成三堆是平均分组问题．(　　) 2．做一做 (1)4种不同的种子，选出3块不同的土地，每一块地只能种一种，则不同的种法有________种． (2)从3名女生、4名男生中选4人担任奥运会志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种． (3)将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法． 探究　　有限制条件的组合问题 例1　男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)既要有队长，又要有女运动员． 　有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？ 探究　　与几何有关的组合问题 例2　如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. 问：(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少个？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个为顶点，可作出多少个四边形？ 　(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？ (2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法． 探究　　分组、分配问题 角度1：不同元素分组、分配问题 例3　6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． 　按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？ (1)各组人数分别为2,4,6人； (2)平均分成3个小组； (3)平均分成3个小组，进入3个不同车间． 角度2：相同元素分配问题 例4　6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． 　将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中． (1)每盒至多一球，有多少种放法？ (2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ (3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？ 探究　　排列、组合的综合应用 例5　有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数． (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表． 　有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？ 课堂小测 1．市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是(　　) A．4