专题09 二次函数之相似三角形问题-2022年中考数学之二次函数核心考点突破

专题09 二次函数之相似三角形问题 【方法综述】 三角形全等是三角形相似的特殊情况。三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用全等三角形和相似的判定方法。另外，注意题目中“≌”与全等表述、“”和相似表述的区别。全等和相似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一、一对应关系。解答时，对于确定的对应边角可以直接利用于解题。而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进行对应边的分类讨论。 一、解答题（共12小题） 1.在直角坐标系XOY中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，-3），且与x轴的两个交点间的距离为6． （1）求二次函数解析式； （2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出Q点的坐标，如果不存在，请说明理由． 2.如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点且与x轴交于点C，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A、点C． （1）求一次函数和二次函数的函数表达式； （2）连接OA，求∠OAB的正弦值； （3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 3.如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC． （1）求该二次函数的解析式及点M的坐标； （2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围； （3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）． 4.已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12． （1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式； （2）点D在y轴上，当以A、O、D为顶点的三角形与△BOC相似时，求点D的坐标； （3）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP＝2，求点P的横坐标． 5. 一个二次函数的图象上任一点的坐标（x，y）满足方程 =|y+| （1）求此二次函数的解析式； （2）若此二次函数与x轴的交点分别为A，B（A在B的左边），与y轴的交点为C，在此二次函数的图象上与x轴上分别找一点D，E（点D不同于点C），使得以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．求出所有满足条件的点D的坐标． 6.如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、点C，与y轴交于点B（0，﹣5）． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标，并求出△ABP周长的最小值； （3）在线段AC上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 7.如图，直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点B（6，m）与y轴交于点C， （1）求直线BC的解析式； （2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式； （3）设经过A、B、C三点的二次函数图象的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E． 问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8.已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y＝kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x 的代数式表示）； （3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标． 9.如图，已知半径为1的⊙O1与x轴交于A，B两点，OM为⊙O1的切线，切点为M，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A，B两点． （1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM的函数解析式； （3）线段OM上是否存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO1M相似，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐