专题08 二次函数之四边形存在性问题-2022年中考数学之二次函数核心考点突破

专题08 二次函数之四边形存在性问题 知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。它们的判定方法如下： 平行四边形的判定方法: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； 矩形判的定方法 有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 菱形判定方法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边相等的四边形是矩形 正方形的判定方法 平行四边形+矩形的特性；平行四边形+菱形的特性 解答时常用的技巧： （1）根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法： 已知点A、B、C三点坐标已知，点P在某函数图像上，是否存在以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标。 P（m，n） B（c，d） C（e，f） A（a，b） O 如，当AP、BC为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得 a+m=c+e，n+b=d+f 则m= c+e-a;n= d+f-b，点P坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求P点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。 （2）菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论，亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。 （3）矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。 一、解答题（共15小题） 1.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，4），B点在y轴上． （1）求m的值及这个二次函数的解析式； （2）若P是线段AB下方抛物线上一动点，当△ABP面积最大时，求P点坐标以及△ABP面积最大值； （3）若D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，Q为线段AB之间的一个动点，过Q作x轴的垂线，与这个二次函数图象交于点E，问是否存在这样的点Q，使得四边形DCEQ为平行四边形，若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 2.过点（4，3）的二次函数的顶点坐标是（2，﹣1），M、N是抛物线与x轴的交点． （1）求二次函数的解析式； （2）直线y＝x+3与二次函数交于A、B两点，P是二次函数上任意一点，是否能够在对称轴上找到一点K，使得四边形KAPB为平行四边形？如果存在，求出点K的坐标；如果不存在，请说明理由． 3.已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． （1）求此二次函数解析式； （2）连接AC、CD、DB，求S四边形ACDB； （3）在该抛物线上是否存在点P，使得S△ABP=S四边形ACDB？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为M（2，9）且过点C（8，0）． （1）求该二次函数的表达式； （2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S． ①若F的横坐标为3，求S的值； ②是否存在点F，使点E也落在该二次函数图象上．若存在，求出F的坐标；若不存在，说明理由． 5.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y＝x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上． （1）二次函数的解析式为y＝　　　　　　﹣　　； （2）证明：点（﹣m，2m﹣1）不在（1）中所求的二次函数的图象上； （3）若C为线段AB的中点，过C点作CE⊥x轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点． ①y轴上存在点K，使以K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是　　　﹣　　　　　　　； ②二次函数的图象上是否存在点p，使得S三角形POE＝2S三角形ABD？求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1． （1）求二次函数的解析式； （2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大； （3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边