专题10 利用导数研究函数的单调性-备战2022年高考数学45天核心考点专题训练

学科网（北京）股份有限公司 备战2022年高考数学核心考点专题训练 专题10 利用导数研究函数的单调性 一、单选题（本大题共10小题，共50.0分） 1. 已知函数，对任意，且，都有 ，则实数a 的取值范围是    A. B. C.   D.   【答案】A 【解析】解：因为对任意，，都有， 所以函数在单调递减． 又因为， 所以， 因此对恒成立， 即对恒成立． 令，则， 因此当时，，函数是减函数； 当时，，函数是增函数， 所以当时，函数有最小值， 因此，即． 故选A．   2. 是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数a，b，若，则必有 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：设，， 则， 函数在上是减函数， ， 即bf      故选C．   3. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是      A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：令，当时显然不成立， 故， 令，则问题转化为直线与的图象有三个交点， ， 令，解得， 当或时，，在，上单调递增， 当时，，在上单调递减， 在处取极小值，， 作出的图象如下： 要使直线与曲线有三个交点，，则， 故实数a的取值范围是 ． 故选C．   4. 已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：构造函数， ， 当时，， ， 函数在单调递减． 又函数为奇函数， 是偶函数， ， ，，， ， ， 故选D．   5. 函数的图象如图所示，则不等式的解集为 A. B. C.   D. 【答案】D 【解析】解：由图知，的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以在区间及上，，在上，， 又， 所以或 得或， 即不等式的解集为． 故选D．   6. 已知函数，若在时总成立，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：当时，显然恒成立； 当时，即为，设， 则，令， ， 函数在上为增函数， 当时，，故函数在上为增函数， ，即成立； 当时，，，故存在，使得， 当时，，单调递减，则，即，不符题意； 综上所述，实数k的取值范围为． 故选：A．   7. 设点P为函数与的图像的公共点，以P为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b的最大值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：设，由于点P为两曲线的公切点，则． 又在点P处的切线斜率相同，则，即，即． 又，，所以，于是，其中． 设，其中，则，其中， 所以在内单调递增，在内单调递减， 所以实数b的最大值为． 故选B．   8. 已知函数，其导函数为偶函数，，则函数在区间上的最小值为 A. B. C. e D. 2e 【答案】B 【解析】， 要使导函数为偶函数，则， 故， 则，解得， 所以， 故，， 当时，，当时，． 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为． 故选B．   9. 已知函数为自然对数的底数在上有两个零点，则m的范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：由得， 当时，方程不成立，即， 则， 设，且， 则， 且，由得， 当时，，函数为增函数， 当且时，，函数为减函数， 则当时函数取得极小值，极小值为， 当时，，且单调递减，作出函数的图象如图： 要使有两个不同的根， 则即可， 即实数m的取值范围是， 方法2：由得， 设，， ，当时，，则为增函数， 设与相切时的切点为，切线斜率， 则切线方程为， 当切线过时，， 即，即，得或舍，则切线斜率， 要使与在上有两个不同的交点，则， 即实数m的取值范围是 故选：D． 10. 已知都是定义在R上的函数，，，且，若数列的前n项和大于363，则n的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】解：且，， 又， ， 是增函数， ， ． ，解得或， 综上得． 数列是等比数列，． 数列的前n项和大于363， ， 即， ，解得． 的最小值为6． 故选C．   二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 11. 设定义域为R的函数满足，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】解：设，则， ，，即函数在定义域R上单调递增， ， ，即， ，即， 不等式的解集为， 故答案为．   12. 若函数在上的最大值为，则a的值为________． 【答案】 【解析】解：， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，，不合题意． ，， 经检验满足题意． 故答案为．   13. 已知函数在其图象上任意一点处的切线，与x轴、y轴的正半轴分别交于M，N两点，设是坐标原点的面积为，当时，取得最小值，则的值为          ． 【答案】 【解析】解：因为， 所以， 所