专题07 指数函数与对数函数-备战2022年高考数学45天核心考点专题训练

学科网（北京）股份有限公司 备战2022年高考数学核心考点专题训练 专题7 指数函数与对数函数 一、单选题（本大题共10小题，共50.0分） 1. 已知函数其中且的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则的值为      A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：函数的图象恒过定点， 将，代入得：， ， ， 则 ． 故选A． 2. 已知，则3，ab，的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：因为：， 所以，， 以上两式相乘可得， 即，所以， 又因为， 则，， 所以， 所以． 故选D．   3. 如图，点O为坐标原点，点，若函数，且及，且的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由图象可知，函数均为减函数，所以，， 因为点O为坐标原点，点， 又M、N恰好是线段OA的两个三等分点， ，， ，，， ， ， 故选：A．   4. 已知定义在R上的偶函数在上单调递增，则    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：因为，，而函数是增函数， 所以， 而由函数的图象得， 因此． 又因为定义在R上的偶函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 因此， 即． 故选D．   5. 科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画一条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；；如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是取， A. 16 B. 17 C. 24 D. 25 【答案】B 【解析】解：设初始长度为a，各次构造后的折线长度构成一个数列， 由题知，，则为等比数列， ， 假设构造n次后，折线的长度大于初始线段的100倍， 即 ， ， 故至少需要通过构造的次数是17． 故选B．   6. 我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个已知1个超导量子比特共有“，”2种叠加态，2个超导量子比特共有“，，，”4种叠加态，3个超导量子比特共有“，，，，，，，”8种叠加态，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长设62个超导量子比特共有N种叠加态，则N是一个________位的数参考数据：    A. 18 B. 19 C. 62 D. 63 【答案】B 【解析】解：由题意得：62个超导量子比特共有种叠加态， ， 又， 所以N是一个19位的数． 故选B．   7. 给出下列四个命题： 函数的图象过定点； 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，若，则实数或2； 若，则a的取值范围是； 对于函数，其定义域内任意，都满足． 其中所有正确命题的个数是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】解：对于函数的图象，令，解得，当时，， 故函数的图像经过定点，故错误； 已知函数是定义在R上的奇函数， 当时，． 当时，，故，整理得：， 故， 若，显然， 所以，解得或舍去， 则实数，故错误； 若，可得，且，则a的取值范围是，故正确； 对于函数，其定义域内任意，故函数为增函数，故利用函数的图像 都满足． 故正确． 故选B．   8. 已知，，且，下列结论正确的是 ；；；． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由条件可得， 易知函数在上单调递增，所以 ，故，，， 又在上单调递增， 所以，即，所以正确． 故选A   9. 已知关于x的不等式且的解集为，则 A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】解：且，显然和的图象如图所示： 因为不等式的解集为 ， 设点A为两个函数图象的交点，则， 所以，即． 故选A．   10. 已知且，且，则函数与函数的图象可能是    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解： ，． 的定义域是，排除A． 若，则，此时是增函数，是增函数，排除 若，则，此时是减函数，是减函数，排除 故B正确． 故选B．   二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 11. 下列说法中正确的有          把你认为正确的序号全部写上 ； 已知，则； 函数的图象与函数的图象关于原点对称； 函数的递增区间为． 【答案】 【解析】，故不正确． 当时，，即，所以，所以． 当时，，即，所以，所以． 综上，或，故不正确． 因为，，， 所以与的图象关