专题06 二次函数与幂函数-备战2022年高考数学45天核心考点专题训练

学科网（北京）股份有限公司 备战2022年高考数学核心考点专题训练 专题6 二次函数与幂函数 一、单选题（本大题共10小题，共50.0分） 1. 函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则的值 A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 【答案】A 【解析】由函数是幂函数， 可得，解得或． 当时， 当时，． 对任意的，，且，满足， 所以函数在上是单调递增函数， 故． 又，所以，所以， 则． 故选A．   2. 已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，则， ，则， ，则， 函数，，的零点分别为a，b，c， 作出函数，，，的图象如图： 由图可知：， 故选：B．   3. 已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函数是幂函数， 解得 直线过点 ， ， ， ，，， 又，，， 而， 由得 ， ， 即的取值范围是． 故选D．   4. 已知函数是定义在区间上的奇函数，则    A. B. C. D. 与大小不能确定 【答案】A 【解析】函数是定义在区间上的奇函数， 所以，得或， 当时，函数在区间的处不成立， 当时，函数在区间上单调递增，有， 即． 故选A． 5. 对于幂函数，若，则，的大小关系是    A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】幂函数在上是增函数，大致图象如图所示． 设，，其中，则AC的中点E的坐标为，，，． ， ，故选A． 6. 若幂函数的图象过点，则函数的递增区间为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设幂函数 图象过点， 代入可得解得， 所以函数，所以， 令，即，解得，即函数的递增区间． 故选A．   7. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则n的值为    A. B. 1 C. 2 D. 1或2 【答案】B 8. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：根据所给的三视图可知原几何体是倒放的圆锥， 设圆锥的底面半径为R，高为H，水流的速度是v， 则由题意得， ，解得，这是一个幂型函数， 所以容器中水面的高度h随时间t变化的图象类似于幂函数的图象， 故选B．   9. 若四个幂函数，，，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由幂函数的图象可知，在上，幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴， 由题图知． 故选B．   10. 已知，若，则下列各式正确的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为函数在上是增函数， 由0ab1，得， 故 ， 故选C． 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 11. 已知幂函数是奇函数，且，则m的值为          ． 【答案】0 【解析】因为幂函数，且， ， 即， 解得； 又因为，所以，或； 幂函数是奇函数， 当时，，不符题意，舍去； 当时，，符合题意； 所以m的值为0． 故答案为：0． 12. 若对任意的，均有，则a的取值范围是          ． 【答案】 【解析】构造函数，根据幂函数的性质得到该函数为增函数， 故，所以， 即对任意的恒成立， 所以，解得：． 所以a的取值范围为． 故答案为． 13. 如果定义在区间D上的函数同时满足： 对于任意，均有； 对于任意，且，都有，则称函数为“满意函数”． 则下列四个函数中： ； ； ； ． 称为“满意函数”的有          填序号． 【答案】 【解析】由函数满足对于任意，均有； 对于任意，且，都有， 则函数为单调递增的奇函数， 为偶函数，不符合题意， 在定义域上不单调，不符合题意； ，则， 设，， 根据幂函数的性质可知，故， 所以在R上单调递增，符合题意； 的图象如图所示， 图象关于原点对称，为奇函数且在R上单调递增，符合题意． 故答案为：． 14. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，求满足的实数a的取值范围____． 【答案】 【解析】解：函数在上递减， ，解得，， ，2，又函数的图象关于y轴对称， 为偶函数，是偶数， 又为奇数，为偶数，， 由得 解得或． 故实数a的取值范围为   三、解答题（本大题共3小题，共30分） 15. 已知幂函数在R上的图像关于y轴对称，并在为严格增函数． 求p的值，并写出此函数的表达式 设函数，在的条件下，问是否存在实数q，使得此函数在区间上有最小值为若存在，求出q的值若不存在，说明理由． 【答案】解：因为 在为增函数， 所以，即 解得 ，