专题17 立体几何综合-备战2022年高考数学一轮复习（真题+模拟）训练

学科网（北京）股份有限公司 专题17 立体几何综合 第一部分 真题分类 1. （2020全国高考真题）如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻转成平面，若M、O分别为线段C、DE的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是  A. 与平面垂直的直线必与直线BM垂直 B. 异面直线BM与所成角是定值 C. 一定存在某个位置，使 D. 三棱锥外接球半径与棱AD的长之比为定值 【答案】C 【解析】解：对于A，延长CB，DE交于H，连接，由E为AB的中点， 可得B为CH的中点， 又M为的中点，可得， 又平面，平面， 则平面，故与平面垂直的直线必与直线BM垂直，则A正确； 对于B，设，过E作，平面， 则， 在中，，，， 则为定值，即为定值，则B正确； 对于C，连接，可得，若， 因为，，平面， 即有平面， 即有，由在平面ABCD中的射影为AC， 可得AC与DE垂直，但AC与DE不垂直． 则不存在某个位置，使，则C不正确； 对于D，连接OA，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半， 可得三棱锥外接球球心为O，半径为， 即有三棱锥外接球半径与棱AD的长之比为定值，则D正确． 故选：C． 2. （2019全国高考真题）已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，点M在线段EF上． Ⅰ若M为EF的中点，求证：平面BDE； Ⅱ求二面角的余弦值； Ⅲ证明：存在点M，使得平面BDF，并求的值． 【答案】Ⅰ证明：设，连结OE， 因为 正方形ABCD，所以O为AC中点 又  矩形ACEF，M为EF的中点 所以  ，且分 所以OAME为平行四边形 所以 分 又 平面BDE，平面BDE 所以 平面分 Ⅱ解：以C为原点，分别以CD，CB，CE为x，y，z轴建立坐标系 则2，，2，，0，，2， 设平面BDF的法向量为， 由得 则分 易知 平面ABF的法向量分 由图可知 二面角为锐角 所以 二面角的余弦值为分 Ⅲ解：设，则  若平面BDF则，即1，分 所以解得所以， 所以  分 【解析】Ⅰ证明：设，连结OE，证明OAME为平行四边形，推出，即可证明 平面BDE． Ⅱ以C为原点，分别以CD，CB，CE为x，y，z轴建立坐标系，求出平面BDF的法向量平面ABF的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值． Ⅲ设，则，通过，求出M，然后求解比值即可． 3. （2018全国高考真题）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，为PD的中点，点F在PC上，且． Ⅰ求证：平面PAD； Ⅱ求二面角的余弦值； Ⅲ设点G在PB上，且判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． 【答案】解：Ⅰ证明：平面ABCD，， ， ，，平面PAD，平面PAD， 平面PAD． Ⅱ以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴， AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 0，，1，，，0，，， 1，，， 平面AEP的一个法向量为0，， 设平面AEF的一个法向量为y，， 则，取，得1，， 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， 则． 二面角的余弦值为． Ⅲ直线AG在平面AEF内，理由如下： 点G在PB上，且， ， 平面AEF的一个法向量为1，， ， 故直线AG在平面AEF内． 4. （2017全国高考真题）如图，在平行四边形ABCD中，，，，四边形ACEF为矩形，平面平面ABCD，，点M在线段EF上运动，且． 当时，求异面直线DB与BM所成角的大小； 设平面MBC与平面ECD所成二面角的大小为，求的取值范围． 【答案】解：在中，，，， 则， ，， 四边形ACEF为菱形，， 平面平面ABCD，平面平面， 平面ACEF，平面ABCD， 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系， 则0，，0，，，，0，， 当时，，， ，0，， ，， 异面直线DB与BM所成角的大小为． 平面ECD的一个法向量1，， 设， 由， 得， ，， 设平面MBC的法向量y，， 则，取，得， ，， ， 第二部分 模拟训练 一、单选题 1．在矩形ABCD中，，，沿矩形对角线BD将折起形成四面体ABCD，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD中，当时，；②四面体ABCD的体积的最大值为；③在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成角可能为；④四面体ABCD的外接球的体积为定值.其中所有正确结论的编号为( ) A．①④ B．①② C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【解析】如图，当时，∵，∴平面， ∵平面，∴，即①正确； 当平面平面时，四面体ABCD的体积最大，最大值为，即②正确； 当平面平面时，BC与平面ABD所成的角最大，为，而， ∴BC与平面ABD所成角一定小于，即③错误； 在翻折的过程中，和始终是直角三角形，斜边都是BD，其外接球的球心永远是BD的中点，外