专题14 基本不等式-备战2022年高考数学一轮复习（真题+模拟）训练

学科网（北京）股份有限公司 专题14 基本不等式 第一部分 真题分类 1．（2021·江苏高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】解：因为，所以， 因为奇函数是定义在上的单调函数， 所以， 所以，即， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：B 2．（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【解析】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 3．（2021·浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】法1：由基本不等式有， 同理，， 故， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 法2：不妨设，则， 由排列不等式可得： ， 而， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 4．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 5．（2019·北京高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A．① B．② C．①② D．①②③ 【答案】C 【解析】由得,,, 所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确. 由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确. 如图所示,易知, 四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误. 故选C. 6．（2020·海南高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 7．（2021·天津高考真题）若，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 8．（2020·天津高考真题）已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 9．（2020·江苏高考真题）已知，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 10．（2019·天津高考真题（文）） 设，，，则的最小值为__________. 【答案】. 【解析】由，得，得 ， 等号当且仅当，即时成立． 故所求的最小值为． 11．（2021·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本; （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润. 【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元. 【解析】（1）， 当且仅当时，即取“=”，符合题意； ∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元. （2） 又，∴当时，. 答：年产量为110吨时，最大利润为860万元. 12．（2020·全国高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca<0； （2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】（1）， . 均不为，则，； （2）